"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Квадрат — четырёхугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом: у него четыре равные стороны и четыре прямых угла. Поэтому к нему применимы свойства обеих фигур. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся пополам, а сторона и диагональ связаны формулой d = a√2. Эти свойства помогают находить периметр, площадь и радиусы окружностей, связанных с квадратом, даже если в задаче известна только одна величина.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны; равносильно, это ромб, у которого все углы прямые. Например, если четырёхугольник уже известен как прямоугольник и две его соседние стороны равны, то он квадрат. Такое определение помогает узнавать квадрат по свойствам знакомых фигур.
Сторона квадрата — отрезок, ограничивающий его. Обозначим квадрат ABCD: его стороны — AB, BC, CD и DA, причём AB = BC = CD = DA = a. Буква a обозначает длину любой стороны, поэтому её достаточно знать, чтобы найти периметр или площадь.
Диагональ квадрата — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. В квадрате ABCD диагонали — AC и BD; их общую длину можно обозначить d. Диагональ проходит внутри квадрата и позволяет связать его сторону с расстоянием между противоположными вершинами.
Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то O и есть центр квадрата. Эта точка нужна, чтобы описать положение центра окружностей, вписанных в квадрат и описанных около него.
Квадрат определяется как прямоугольник с равными сторонами. У прямоугольника все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны; если вдобавок равны соседние стороны, то равны все четыре. Поэтому у квадрата одновременно четыре равные стороны и четыре угла по 90°. Именно это сочетание позволяет пользоваться свойствами и прямоугольника, и ромба.
У прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. У ромба диагонали перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами углов, то есть делят углы на две равные части. Квадрат относится к обоим видам четырёхугольников, поэтому его диагонали обладают всеми этими свойствами сразу. Это удобно, когда в задаче нужно найти углы, отрезки диагоналей или доказать равенство треугольников.
Диагональ делит квадрат на два треугольника. У каждого из них две стороны равны стороне квадрата, а угол между этими сторонами прямой, поэтому треугольник прямоугольный и равнобедренный. По теореме Пифагора для его гипотенузы получаем d² = a² + a² = 2a², откуда d = a√2. Если известна диагональ, эту зависимость можно обратить: a = d/√2.
Диагонали пересекаются и делятся пополам, а их длины равны. Значит, от центра O до каждой вершины расстояние одинаково: это половина диагонали, d/2. Окружность с центром O и таким радиусом проходит через все четыре вершины, поэтому её можно описать около квадрата. В задачах радиус этой окружности находят как R = d/2.
Перпендикуляр, проведённый из центра квадрата к любой стороне, попадает в её середину: диагонали и оси симметрии квадрата обеспечивают одинаковое положение центра относительно сторон. Расстояние от центра до стороны составляет половину стороны, a/2. Если начертить окружность с центром O и радиусом a/2, она касается каждой стороны, значит, вписана в квадрат. Поэтому для её радиуса используют формулу r = a/2.
| Что рассматриваем | Свойство квадрата | Следствие или формула |
|---|---|---|
| Стороны | Все четыре стороны равны | AB = BC = CD = DA = a; P = 4a |
| Углы | Все углы прямые | Каждый угол равен 90° |
| Диагонали | Равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам | AC = BD = d; d = a√2 |
| Точка пересечения диагоналей | Расположена на одинаковом расстоянии от всех вершин и сторон | Расстояние до вершины равно d/2, до стороны — a/2 |
| Диагональ и сторона | Связаны теоремой Пифагора | d = a√2; a = d/√2 |
| Описанная окружность | Проходит через все вершины, её центр — пересечение диагоналей | R = d/2 |
| Вписанная окружность | Касается всех сторон, её центр — пересечение диагоналей | r = a/2 |
Сначала найди в таблице величину, которая дана в задаче, а затем выбери свойство или формулу, связывающую её с искомой. Не перепутай радиусы: для описанной окружности нужна половина диагонали, а для вписанной — половина стороны. Если известна диагональ, сначала можно вычислить сторону по формуле a = d/√2.
Периметр — сумма длин всех сторон, а площадь квадрата равна произведению стороны на саму себя. В условии уже дана сторона a = 5 см, поэтому дополнительных построений и поиска других величин не требуется. Сначала подставим её в формулу периметра, затем — в формулу площади. Единицы площади запишем в квадратных сантиметрах.
Ответ: периметр равен 20 см, площадь — 25 см².
Здесь дана диагональ, а требуется найти сторону. Диагональ квадрата является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными стороне квадрата. Поэтому d = a√2; выразим из этой формулы a и подставим известное значение диагонали. Корень из двух в ответе можно оставить: это точное значение.
Ответ: сторона квадрата равна 4√2 см.
Периметр складывается из четырёх равных сторон, поэтому сначала по нему можно найти a. Затем вычислим диагональ по формуле d = a√2. Радиус вписанной окружности связан со стороной, а описанной — с диагональю, так что важно не поменять эти формулы местами. Полученные значения относятся к одному и тому же квадрату.
Ответ: диагональ равна 6√2 см, радиус вписанной окружности — 3 см, описанной — 3√2 см.
Ошибка — считать квадрат только частным случаем ромба и забывать о прямых углах. Так происходит, потому что у ромба тоже равны все стороны, но этого условия самого по себе недостаточно для квадрата. Проверь, указано ли, что углы прямые, или что четырёхугольник является прямоугольником. Квадрат одновременно удовлетворяет обоим определениям.
Не подставляй диагональ вместо стороны в формулу P = 4a. Периметр — это сумма четырёх сторон, а диагональ соединяет противоположные вершины и не ограничивает квадрат. Ошибка возникает, когда обе длины обозначают одной буквой или не читают, что именно дано. Перед вычислением подпиши величины: a — сторона, d — диагональ.
Недостаточно сказать, что диагонали квадрата равны: это свойство есть и у прямоугольника. У квадрата диагонали также перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы пополам. Проверяй, не требуется ли в задаче одно из этих дополнительных свойств. Полный набор помогает выбрать нужное обоснование.
Не путай радиусы окружностей: вписанная касается сторон, а описанная проходит через вершины. Поэтому радиус первой равен половине стороны, r = a/2, а второй — половине диагонали, R = d/2. Их легко перепутать, если помнить только, что обе окружности имеют центр в точке пересечения диагоналей. Сверься с тем, где именно окружность касается или проходит через квадрат.
Чтобы разбирать свойства квадрата, нужно знать определения прямоугольника и ромба: квадрат объединяет их признаки. При выводе формулы диагонали используется прямоугольный треугольник и теорема Пифагора, а диагональ четырёхугольника понимается как отрезок между противоположными вершинами. Эти знания помогают объяснить, откуда берётся d = a√2, а не просто запомнить формулу. Дальше свойства квадрата пригодятся в задачах на четырёхугольники, периметры, площади и окружности.
Можно ли назвать квадрат одновременно прямоугольником и ромбом?
Да. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны, и ромб, у которого все углы прямые. Поэтому он обладает свойствами обеих фигур.
Почему диагонали квадрата равны?
Каждая диагональ образует прямоугольный треугольник с двумя сторонами квадрата. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому соответствующие диагонали одинаковы.
Как найти сторону квадрата, если известна его диагональ?
Используй формулу d = a√2 и вырази сторону: a = d/√2. Например, если d = 8 см, то a = 8/√2 = 4√2 см.
Как найти радиусы вписанной и описанной окружностей квадрата?
Радиус вписанной окружности равен половине стороны: r = a/2. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: R = d/2 = a√2/2.
Какие свойства диагоналей квадрата отличают его от обычного прямоугольника?
У прямоугольника диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. У квадрата они ещё и перпендикулярны, а также делят углы квадрата пополам.
§ 11. Квадрат
