§ 6. Квадрат

Определения и обозначения

Квадрат ABCD — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Его стороны можно записать как AB, BC, CD и DA, причём каждая имеет одинаковую длину, а каждый угол равен 90°. Такое определение позволяет проверить, является ли заданная фигура квадратом: нужно убедиться и в равенстве сторон, и в прямых углах.

Общую длину стороны квадрата обычно обозначают буквой a, а диагонали — AC и BD. Диагональ соединяет две вершины, которые не являются соседними, поэтому у квадрата две диагонали. Эти обозначения нужны, чтобы коротко записывать свойства фигуры и пользоваться формулами для стороны, диагонали и площади.

Центром квадрата называют точку пересечения его диагоналей и обычно обозначают O. Диагонали пересекаются ровно посередине, поэтому O равноудалена от всех четырёх вершин. Это обозначение удобно в задачах о симметрии и расстояниях внутри квадрата.

Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура совмещается сама с собой при отражении. У квадрата такими осями служат обе диагонали и две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Это помогает находить равные части квадрата и упрощает построения.

Как это устроено

Квадрат одновременно является прямоугольником и ромбом, потому что выполняет определения обеих фигур. У прямоугольника все углы прямые, а у ромба все стороны равны; квадрат обладает и тем и другим свойством. Поэтому к нему применимы утверждения, доказанные для прямоугольников и ромбов, и не требуется доказывать их заново для каждого случая.

У прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Квадрат является прямоугольником, поэтому для его диагоналей верны эти же утверждения: AC = BD, а AO = OC и BO = OD. Равенство диагоналей следует из свойств прямоугольного треугольника, а деление пополам — из свойства диагоналей параллелограмма, которым является прямоугольник.

Квадрат является также ромбом, поэтому его диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Перпендикулярность связана с равенством всех сторон: при пересечении диагоналей возникают треугольники с равными сторонами, а их углы при O оказываются прямыми. Каждая диагональ делит угол квадрата 90° на два угла по 45°, так что она является биссектрисой — лучом, делящим угол на две равные части.

Точка O — центр симметрии квадрата, потому что поворот фигуры на 180° вокруг неё переводит каждую вершину в противоположную. Например, A переходит в C, а B — в D; стороны при этом также совмещаются. Такой поворот объясняется тем, что диагонали пересекаются и делятся пополам в O.

Периметр — сумма длин сторон, поэтому для четырёх равных сторон P = a + a + a + a = 4a. Площадь квадрата равна произведению длины стороны на себя: S = a · a = a². Чтобы получить формулу диагонали, рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a и a и гипотенузой d; по теореме Пифагора d² = a² + a² = 2a², откуда d = a√2.

Основные свойства квадрата

Таблица показывает, как длина диагонали связана со стороной квадрата. Если известна сторона, умножьте её на √2; если известна диагональ, разделите её на √2, чтобы получить сторону. Перед подстановкой проверьте, что длины записаны в одинаковых единицах.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, является квадратом.

1. Обозначим прямоугольник ABCD так, чтобы равные соседние стороны были AB и BC. Тогда AB = BC по условию.
2. У прямоугольника противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Поскольку AB и BC равны, из этих равенств следует, что все четыре стороны равны.
3. Все углы прямоугольника прямые по определению. Значит, ABCD имеет равные стороны и прямые углы, то есть является квадратом.

Ответ: прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат. В доказательстве использованы оба признака из определения квадрата: равенство всех сторон и прямые углы.

Задача 2. Сторона квадрата равна 6 см. Найдите периметр, площадь и длину диагонали.

1. Подставим a = 6 см в формулу периметра: P = 4a = 4 · 6 = 24 см.
2. Для площади возведём сторону в квадрат: S = a² = 6² = 36 см². Единица площади получается квадратной, потому что перемножаются сантиметры.
3. Диагональ найдём по формуле d = a√2: d = 6√2 см. Приближённо это 8,49 см, так как √2 ≈ 1,414.

Ответ: P = 24 см, S = 36 см², d = 6√2 см (примерно 8,49 см). Точную длину диагонали лучше оставлять с корнем, если в условии не требуется приближённое значение.

Задача 3. Диагональ квадрата ABCD равна 12 см. Найдите площадь квадрата и расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны AB.

1. Обозначим сторону через a. Из d = a√2 получаем a = 12/√2 = 6√2 см; деление на √2 можно заменить умножением на √2 и делением на 2.
2. Найдём площадь: S = a² = (6√2)² = 36 · 2 = 72 см².
3. Опустим из O перпендикуляр к AB. Он попадает в середину стороны, а расстояние от центра квадрата до стороны равно половине стороны: 6√2/2 = 3√2 см.

Ответ: площадь равна 72 см², расстояние от O до AB — 3√2 см. Перпендикулярное расстояние измеряют по отрезку, образующему с прямой AB угол 90°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать квадратом любой ромб или любой прямоугольник. Ромб может иметь не прямые углы, а прямоугольник — неравные стороны, поэтому каждое из этих условий отдельно недостаточно. Ошибку допускают, когда запоминают только одну часть определения; проверьте фигуру по обоим условиям сразу.

Ошибка: помнить, что диагонали квадрата равны, но забывать об их перпендикулярности и делении пополам. Равенство диагоналей есть и у любого прямоугольника, поэтому оно не описывает все особенности квадрата. Чтобы проверить себя, перечислите свойства, полученные от прямоугольника и от ромба.

Ошибка: записывать диагональ как d = 2a. Диагональ не состоит из двух сторон: она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a и a, поэтому d = a√2. Подстановка, например, a = 6 даёт примерно 8,49, а не 12, что помогает заметить неверный результат.

Ошибка: подставлять диагональ вместо стороны в формулу площади или считать площадь как 4a. Выражение 4a — это периметр, а для площади нужны две длины сторон: S = a². Перед вычислением подпишите, что известно, проверьте единицы ответа и убедитесь, что площадь выражена в квадратных единицах.

Связь с другими темами

Для изучения квадрата нужны определения и свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба, а также теорема Пифагора. В предыдущих темах разбирались признаки четырёхугольников, которые помогают распознавать квадрат и обосновывать его свойства. Эти знания пригодятся при вычислении площадей и диагоналей, изучении симметрии, работе с координатами и выполнении геометрических построений.

Что запомнить

• Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами и ромб с прямыми углами.
• Все стороны квадрата равны, а все углы равны 90°.
• Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся пополам.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
• Периметр квадрата вычисляется по формуле P = 4a.
• Площадь квадрата вычисляется по формуле S = a².
• Диагональ квадрата равна a√2.