"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Квадрат — это особый четырёхугольник: прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб с прямым углом. Поэтому он сочетает свойства обеих фигур: имеет четыре равные стороны, четыре прямых угла и диагонали с несколькими важными особенностями. В параграфе вы узнаете, как находить периметр, площадь и диагональ квадрата, а также как доказать, что данный параллелограмм является квадратом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Иначе его можно описать как ромб с одним прямым углом: тогда остальные углы тоже становятся прямыми. Такое определение сразу показывает, что квадрат объединяет признаки двух знакомых фигур.
Сторона квадрата — отрезок, ограничивающий его. Все четыре стороны имеют одинаковую длину, которую обычно обозначают буквой a. Обозначение нужно, чтобы кратко записывать формулы периметра и площади.
Диагональ квадрата — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В квадрате ABCD диагоналями будут AC и BD, а длину любой диагонали обозначают буквой d. Диагонали помогают исследовать внутреннее устройство фигуры и связать её сторону с другими величинами.
Признак квадрата — условие, по которому можно доказать, что данный четырёхугольник является квадратом. Например, параллелограмм с равными и перпендикулярными диагоналями является квадратом. Признак позволяет сделать вывод о фигуре, не измеряя все её стороны и углы напрямую.
Квадрат одновременно обладает свойствами прямоугольника и ромба, потому что в его определении соединены признаки этих фигур. Как прямоугольник он имеет прямые углы, а как ромб — четыре равные стороны. Поэтому при решении задач можно применять теоремы сразу обоих типов четырёхугольников.
Все углы квадрата прямые по определению прямоугольника. Противоположные стороны параллельны, поскольку квадрат является параллелограммом, а у любого параллелограмма противоположные стороны параллельны. Таким образом, равенство сторон не отменяет, а дополняет обычные свойства прямоугольника.
Диагонали квадрата равны, потому что это диагонали прямоугольника. Они перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поскольку квадрат является ромбом. Каждая диагональ также делит углы пополам: это свойство диагоналей ромба, которое сохраняется у квадрата.
Периметр равен сумме длин всех сторон. Так как у квадрата четыре стороны и каждая равна a, получаем P = a + a + a + a = 4a. Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон, а у квадрата обе соседние стороны имеют длину a, поэтому S = a · a = a².
Если провести диагональ, квадрат разделится на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Их катеты равны a, а диагональ d является гипотенузой. По теореме Пифагора d² = a² + a² = 2a², значит, d = a√2.
| Свойство | Что верно для квадрата | Формула или следствие |
|---|---|---|
| Стороны | Все четыре стороны равны; противоположные стороны параллельны | AB = BC = CD = DA = a |
| Углы | Все углы прямые | ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° |
| Диагонали | Диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам | AC = BD; AC ⟂ BD |
| Биссектрисы углов | Каждая диагональ делит углы квадрата пополам | Угол между диагональю и стороной равен 45° |
| Периметр | Периметр равен сумме четырёх равных сторон | P = 4a |
| Площадь | Площадь равна произведению двух соседних сторон | S = a² |
| Связь стороны и диагонали | Диагональ является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника | d = a√2 |
Таблицу удобно использовать как краткую памятку при решении задач. Сначала найдите в условии известную величину, затем выберите строку с подходящей формулой или свойством. Если требуется доказательство, проверяйте не только стороны и углы, но и диагонали.
Из условия известна сторона a = 7 см. Для периметра нужна сумма четырёх сторон, а для площади — произведение двух соседних сторон.
Ответ: P = 28 см, S = 49 см².
Диагональ связана со стороной формулой d = a√2. Чтобы найти сторону, нужно разделить диагональ на √2, после чего площадь можно вычислить по формуле S = a².
Ответ: сторона равна 10 см, площадь равна 100 см².
Нужно последовательно применить признаки прямоугольника и ромба, а затем объединить полученные выводы. Пусть диагонали параллелограмма AC и BD равны и перпендикулярны.
Следовательно, ABCD — квадрат.
Считать квадрат только ромбом или только прямоугольником — значит использовать лишь часть его свойств. Так ошибаются, когда вспоминают только один признак фигуры. Проверьте себя: у квадрата должны выполняться одновременно равенство всех сторон и прямоугольность всех углов.
Нельзя путать формулы площади и периметра: S = 4a и P = a² неверны. Причина ошибки — смешение суммы сторон с произведением соседних сторон. Проверьте единицы: периметр измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах.
Иногда утверждают, что диагонали квадрата только равны. На самом деле они ещё перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами углов. При проверке выпишите все свойства диагоналей, относящиеся к прямоугольнику и ромбу.
При использовании d = a√2 сторону иногда находят как d√2. Это неверно, потому что для a нужно разделить обе части равенства на √2: a = d/√2. Быстрая проверка: диагональ квадрата должна быть больше его стороны, а полученное число должно это подтверждать.
Для изучения квадрата нужны определения и свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба, а также формулы периметра и площади. Связь диагонали со стороной объясняется теоремой Пифагора и свойствами прямоугольного равнобедренного треугольника. Позже эти знания пригодятся при изучении площадей фигур, координатной геометрии, симметрии и задач на доказательство.
Чем квадрат отличается от прямоугольника и ромба?
У прямоугольника все углы прямые, но стороны могут быть разными. У ромба все стороны равны, но углы не обязательно прямые. Квадрат одновременно имеет и четыре равные стороны, и четыре прямых угла.
Почему квадрат считают одновременно прямоугольником и ромбом?
По определению квадрат является прямоугольником с равными сторонами. Одновременно он является ромбом с прямым углом, потому что у ромба все стороны равны, а один прямой угол делает прямыми и остальные углы.
Какими свойствами обладают диагонали квадрата?
Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Кроме того, каждая диагональ делит два угла квадрата пополам.
Как найти сторону квадрата по его диагонали?
Используйте формулу d = a√2. Поэтому сторону находят делением диагонали на √2: a = d/√2.
Можно ли доказать, что параллелограмм является квадратом?
Да. Если его диагонали равны, параллелограмм является прямоугольником, а если диагонали перпендикулярны — ромбом. Параллелограмм, который одновременно является прямоугольником и ромбом, является квадратом.
§ 6. Квадрат
