2.7. Средняя линия треугольника

Определения и обозначения

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Например, если один конец отрезка лежит на одной стороне, а другой — на второй, ещё нужно проверить, что обе точки являются серединами. Это определение позволяет отличить среднюю линию от любого другого отрезка внутри треугольника.

Обозначим треугольник ABC. Пусть D — середина стороны AB, а E — середина стороны AC; тогда отрезок DE называют средней линией треугольника ABC. Буквы D и E указывают на точки, а DE — на отрезок между ними. Такое обозначение помогает коротко записывать свойства и не путать среднюю линию с третьей стороной BC.

Середина стороны — точка, которая делит её на два равных отрезка. Поэтому для точки D на AB записывают AD = DB, а для точки E на AC — AE = EC. Равенство отрезков подтверждает, что точка действительно середина, и даёт нужные данные для дальнейших рассуждений.

Как это устроено

Чтобы построить среднюю линию, сначала отмечают середины двух сторон треугольника, а затем соединяют эти точки. Например, на AB находят D так, чтобы AD = DB, а на AC — E так, чтобы AE = EC; после этого проводят DE. Концы отрезка оказываются на двух разных сторонах и делят их пополам, поэтому DE соответствует определению средней линии.

Почему DE параллельна BC? Рассмотрим треугольники ADE и ABC: угол A у них общий, а AD/AB = 1/2 и AE/AC = 1/2. Значит, две стороны малого треугольника пропорциональны соответствующим сторонам большого, а угол между ними равен; треугольники подобны. Из подобия следует равенство соответствующих углов, поэтому DE и BC параллельны.

Из того же подобия следует соотношение длин: DE/BC = AD/AB = 1/2. Следовательно, DE = BC/2, то есть средняя линия равна половине третьей стороны. Здесь третьей называют сторону, которую средняя линия не соединяет своими концами. Например, для DE такой стороной является BC.

Есть и обратное утверждение. Если D — середина AB, а через D провести прямую, параллельную BC, то она пересечёт AC в точке E, которая окажется серединой AC. Причина в том, что параллельность создаёт подобные треугольники ADE и ABC; из подобия следует AD/AB = AE/AC. Так как AD/AB = 1/2, то и AE/AC = 1/2, значит, AE = EC.

Свойства средней линии применяют, когда нужно найти длину или доказать параллельность. Если известна третья сторона и подтверждено, что концы отрезка — середины, длину средней линии находят делением на два. Если длины уже известны, можно проверить, равна ли одна из них половине другой, но одного совпадения длин недостаточно, чтобы назвать отрезок средней линией. Для доказательства параллельности достаточно установить, что отрезок соединяет середины двух сторон.

Свойства средней линии треугольника

В таблице прямая запись относится к случаю, когда D и E — середины AB и AC. Обратное утверждение удобно применять, когда известны середина одной стороны и параллельность, а требуется доказать, что другая точка тоже является серединой. Перед использованием формулы длины проверь, какая сторона является третьей.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC точки D и E — середины сторон AB и AC. Укажите, чему параллельна DE. Нужно распознать, что отрезок соединяет середины двух сторон, а не просто лежит внутри треугольника.

1. По условию D и E — середины AB и AC, поэтому DE является средней линией.
2. Средняя линия параллельна стороне, не содержащей её концов.
3. Такой стороной здесь является BC, значит, DE ∥ BC.

Ответ: DE параллельна BC.

Задача 2

Сторона BC треугольника ABC равна 14 см, а D и E — середины AB и AC. Найдите DE. Поскольку D и E — середины, отрезок DE является средней линией, а BC — его третья сторона.

1. Запишем свойство средней линии: DE = ½BC.
2. Подставим известную длину: DE = 14 : 2 = 7 см.
3. Проверим смысл ответа: средняя линия короче стороны BC в два раза.

Ответ: DE = 7 см.

Задача 3

В треугольнике ABC точка D — середина AB, DE ∥ BC, причём E лежит на AC. Докажите, что E — середина AC, и найдите AC, если AE = 6 см. Здесь дана середина одной стороны и параллельность, поэтому применимо обратное утверждение.

1. Так как D — середина AB и DE параллельна BC, по обратной теореме E — середина AC.
2. Следовательно, отрезки AE и EC равны. При AE = 6 см получаем EC = 6 см.
3. Сторона AC состоит из AE и EC, поэтому AC = 6 + 6 = 12 см.

Ответ: E — середина AC, AC = 12 см.

Типичные ошибки

Ошибка — называть средней линией отрезок, соединяющий любые две точки сторон. Так происходит, если запомнить только его положение внутри треугольника и забыть условие о серединах. Проверь равенства частей сторон: для D на AB должно быть AD = DB, для E на AC — AE = EC.

Иногда считают, что средняя линия равна третьей стороне. Вероятно, путают равенство длин с параллельностью, которая действительно относится к третьей стороне. Проверка проста: если BC = 14 см, то DE должно быть 7 см, а не 14 см.

Нельзя применять свойство параллельности, не проверив, что концы отрезка — середины сторон. Ошибка появляется, когда известное расположение отрезка принимают за достаточное условие. Перед выводом DE ∥ BC укажи, почему D и E — середины соответствующих сторон.

Параллельность сама по себе не доказывает, что отрезок является средней линией. В обратной теореме обязательно задано, что одна точка — середина одной стороны, а прямая параллельна другой стороне. Если забыть первое условие, вывод о делении третьей стороны пополам не обоснован; проверь, что оба условия записаны.

Связь с другими темами

Для изучения средней линии нужно знать, что такое середина отрезка и параллельные прямые. Доказательство через подобие опирается на пропорциональность сторон и равенство углов; вместо подобия можно использовать теорему Фалеса. Эти знания объясняют, почему свойство верно, а не только помогают запомнить формулу.

Средняя линия пригодится в задачах на подобие треугольников, вычисление длин и доказательство параллельности. Её свойства помогают перейти от известной стороны к вдвое меньшему отрезку или восстановить равенство частей стороны. Поэтому сначала отмечают данные условия, а затем выбирают прямую или обратную теорему.

Что запомнить

• Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон.
• В треугольнике можно провести три средние линии.
• Средняя линия параллельна третьей стороне.
• Длина средней линии равна половине длины третьей стороны.
• Если прямая проходит через середину одной стороны параллельно другой стороне, то она делит третью сторону пополам.
• Перед применением свойства проверь, что точки действительно являются серединами сторон.