8.5. Вписанные и описанные четырёхугольники

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность называют описанной около четырёхугольника. По расположению вершин можно понять, что все они одинаково удалены от центра окружности, а само определение помогает отличать такую фигуру от других четырёхугольников.

Описанный четырёхугольник — четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Эту окружность называют вписанной в четырёхугольник. Она находится внутри фигуры и касается каждой стороны, поэтому такое определение удобно, когда в задаче речь идёт о касательных и длинах сторон.

Признак вписанного четырёхугольника — условие, по которому можно установить, что около четырёхугольника можно описать окружность. Вместо того чтобы искать центр окружности и проверять расстояния до вершин, достаточно проверить указанное условие для углов. Это сокращает доказательство и помогает распознать фигуру по её свойствам.

Признак описанного четырёхугольника — условие, по которому можно установить, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Для проверки используют длины сторон и их соотношение. Такой признак помогает доказать наличие общей касательной окружности, не строя её сначала.

Как это устроено

У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают 180°. Причина связана с дугами: каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Дуги, на которые опираются два противоположных угла, вместе составляют полную окружность, то есть 360°. Поэтому половины этих дуг складываются в 180°.

Равенство суммы противоположных углов 180° служит и признаком того, что четырёхугольник можно вписать в окружность. Представим три вершины A, B и C на одной окружности и проведём через них окружность. Для четвёртой вершины D условие ∠A + ∠C = 180° означает, что угол D опирается на ту же дугу, что и угол на окружности, соответствующий ему. Значит, D тоже лежит на этой окружности. Так условие на углы подтверждает, что все четыре вершины принадлежат одной окружности.

У описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны. Чтобы увидеть причину, обозначим точки касания окружности со сторонами и рассмотрим отрезки касательных, проведённые из одной вершины. Такие отрезки равны: расстояние от вершины до первой точки касания равно расстоянию до второй. Если разложить стороны четырёхугольника на эти отрезки, то при сложении противоположных сторон каждый отрезок касательной встретится по одному разу в обеих суммах. Поэтому суммы совпадут.

Чтобы проверить, можно ли описать окружность около четырёхугольника, сложи длины одной пары противоположных сторон, а затем другой пары. Например, для ABCD нужно сравнить AB + CD и BC + AD. Если суммы равны, выполняется признак описанного четырёхугольника, и в четырёхугольник можно вписать окружность. Важно складывать именно противоположные стороны, а не две стороны, которые имеют общую вершину.

В задачах свойства и признаки помогают найти неизвестный угол или сторону и обосновать вывод о фигуре. Если известны углы, сначала проверь, являются ли они противоположными, и составь равенство с суммой 180°. Если известны стороны описанного четырёхугольника, составь равенство сумм противоположных сторон. После вычисления отдельно укажи, какое свойство или признак использовано: тогда решение будет не только численно верным, но и доказанным.

Свойства и признаки вписанного и описанного четырёхугольников

Сначала выбери столбец по тому, что требуется установить: расположение вершин на окружности или касание окружностью сторон. Затем используй соответствующие величины из последней строки таблицы. Не путай свойство, которое применяют к уже известной фигуре, и признак, который помогает доказать, что фигура подходит.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный четырёхугольник ABCD: угол A равен 72°. Найдите угол C. Нужно определить, какие углы связаны свойством вписанного четырёхугольника. Углы A и C противоположные, поэтому их сумма равна 180°.

1. Запишем свойство: ∠A + ∠C = 180°.
2. Подставим известное значение: 72° + ∠C = 180°.
3. Вычтем 72°: ∠C = 180° − 72° = 108°.

Ответ: ∠C = 108°. Полученное значение дополняет угол A до 180°, как и должно быть у противоположных углов вписанного четырёхугольника.

Задача 2. Стороны четырёхугольника по порядку равны 5 см, 8 см, 7 см и x см. Известно, что четырёхугольник описанный. Найдите x. Буквы сторон не даны, поэтому при порядке обхода первая и третья стороны — противоположные, как и вторая и четвёртая. Для описанного четырёхугольника суммы этих пар равны.

1. Составим равенство сумм противоположных сторон: 5 + 7 = 8 + x.
2. Сложим известные числа: 12 = 8 + x.
3. Вычтем 8 из обеих частей: x = 4.
4. Проверим: 5 + 7 = 12, а 8 + 4 = 12, равенство выполняется.

Ответ: x = 4 см. В решении использовано свойство описанного четырёхугольника, а расположение сторон по порядку помогло правильно определить противоположные пары.

Задача 3. В четырёхугольнике ABCD углы A и C в сумме составляют 180°. Докажите, что около ABCD можно описать окружность, и найдите угол C, если угол A равен 104°. Здесь условие сразу указывает на признак вписанного четырёхугольника. Сначала обоснуем возможность описать окружность, а затем найдём угол.

1. Углы A и C — противоположные, и по условию их сумма равна 180°.
2. По признаку вписанного четырёхугольника около ABCD можно описать окружность.
3. Используем условие суммы: ∠A + ∠C = 180°.
4. Подставим ∠A = 104° и вычислим: ∠C = 180° − 104° = 76°.

Ответ: около ABCD можно описать окружность; ∠C = 76°. Важно сначала применить признак, чтобы доказать вписанность, и только затем использовать сумму противоположных углов для вычисления.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что сумма любых двух углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Так запоминают формулу, но забывают, что она относится только к противоположным углам. Проверь себя: в записи должны стоять углы без общей стороны, например A и C, или B и D.

Ошибка: путать вписанный и описанный четырёхугольники. Оба названия связаны с окружностью, поэтому легко перепутать, что именно на ней лежит или к чему она прикасается. Чтобы проверить себя, проговори: у вписанного на окружности вершины, у описанного окружность касается сторон.

Ошибка: для описанного четырёхугольника сравнивать соседние стороны. Их складывают по ошибке, потому что они стоят рядом в записи сторон, но признак относится к противоположным сторонам. Проверь порядок обхода: в ABCD сравнивают AB + CD с BC + AD.

Ошибка: приравнять суммы противоположных сторон и считать доказательство завершённым без проверки, подходит ли признак. Одно и то же равенство нельзя использовать как свойство и признак без понимания, что именно требуется доказать. Убедись, что речь идёт о четырёхугольнике и что применяется обратное утверждение: равенство сумм противоположных сторон позволяет сделать вывод о возможности вписать окружность.

Связь с другими темами

Для работы с вписанными четырёхугольниками нужны сумма углов четырёхугольника, свойства окружности и дуг. Для описанных фигур пригодится свойство равных касательных, проведённых из одной точки: оно объясняет равенство сумм сторон. Эти знания помогают решать задачи на углы и длины, доказывать, что четыре точки лежат на одной окружности, и находить периметр. Позже те же приёмы встретятся в задачах на окружности и касательные.

Что запомнить

• Вписанный четырёхугольник имеет все вершины на одной окружности.
• Описанный четырёхугольник имеет все стороны, касающиеся одной окружности.
• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
• Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, около него можно описать окружность.
• У описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.
• Равенство сумм противоположных сторон служит признаком описанного четырёхугольника.