*8.4. Одно важное геометрическое место точек

Определения и обозначения

Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих указанным общим свойством. Например, можно искать все точки, одинаково удалённые от двух прямых. Такое определение помогает заменить множество отдельных проверок одним правилом и описать ответ геометрически.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Перпендикуляр встречает прямую под прямым углом, и его длина считается кратчайшим расстоянием до неё. Это нужно помнить, сравнивая, насколько точка удалена от разных прямых.

Точка, равноудалённая от двух прямых, — точка, расстояния от которой до обеих прямых равны. Чтобы проверить это свойство, из точки опускают перпендикуляры на каждую прямую и сравнивают их длины. Именно такие точки составляют геометрическое место, которое изучается в параграфе.

Биссектриса угла — луч, делящий угол на два равных угла. Она проходит внутри угла и задаёт направление, на котором точки равноудалены от его сторон. Это свойство позволяет находить искомые точки с помощью построения биссектрисы.

Как это устроено

Пусть две прямые пересекаются и образуют четыре угла. Рассмотрим точку внутри одного из углов и опустим из неё перпендикуляры на стороны угла. Если точка находится на биссектрисе, два прямоугольных треугольника, образованных перпендикулярами, имеют общую гипотенузу, а острые углы при вершине равны. Поэтому треугольники равны, а перпендикуляры — одинаковой длины.

Теперь рассмотрим обратное рассуждение: точка внутри угла равноудалена от его сторон. Перпендикуляры из неё к сторонам образуют прямоугольные треугольники с общей гипотенузой и равными катетами. Такие треугольники равны, значит, углы при вершине исходного угла равны. Следовательно, точка лежит на биссектрисе; здесь важно доказать не только то, что биссектриса подходит, но и что других точек с этим свойством нет.

У пересекающихся прямых есть четыре угла, и у каждого своя биссектриса-луч. Биссектрисы вертикальных углов продолжают друг друга и образуют одну прямую, поэтому все четыре луча составляют две прямые. Каждая точка этих прямых равноудалена от обеих исходных прямых, а обратное рассуждение показывает, что других точек с таким свойством нет.

Две получившиеся биссектрисы перпендикулярны, потому что они делят пополам соседние углы, сумма которых равна 180°. Половины этих углов в сумме дают 90°, значит, биссектрисы встречаются под прямым углом. Это помогает правильно представить геометрическое место: оно состоит не из одной линии, а из двух пересекающихся перпендикулярных прямых.

Чтобы найти точку, равноудалённую от двух пересекающихся прямых и принадлежащую ещё и заданной прямой, сначала проводят биссектрисы всех образованных углов. Затем находят пересечения биссектрис с заданной прямой и проверяют, какие из них подходят по условию. Если заданная прямая проходит через точку пересечения исходных прямых, эту точку тоже учитывают: её расстояния до обеих прямых равны нулю.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых

Сначала найдите условие, которое дано в задаче, а затем сопоставьте его со средней колонкой. Правая колонка подсказывает, какое построение или проверку выполнить. Строки описывают одно и то же свойство с разных сторон: от условия к месту и от места к равным расстояниям.

Разбор задач

Найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых

Нужно описать все точки, а не найти одну конкретную. Равное удаление от прямых означает, что расстояния, измеренные по перпендикулярам, совпадают. Такое условие связывает точку с биссектрисой угла, образованного прямыми.

1. Обозначим точку пересечения прямых и рассмотрим один из образованных углов. Точки, равноудалённые от его сторон, лежат на биссектрисе этого угла. Поэтому проводим эту биссектрису.
2. Угол, вертикальный выбранному, имеет ту же биссектрису, продолженную в противоположную сторону. У двух остальных углов получается вторая прямая-биссектриса. Она перпендикулярна первой.
3. По обратному свойству точка, равноудалённая от прямых, должна принадлежать биссектрисе одного из углов. Значит, других частей геометрического места, кроме двух построенных прямых, нет.

Ответ: две взаимно перпендикулярные биссектрисы вертикальных углов.

Доказать, что точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон

Пусть точка находится на биссектрисе угла. Для сравнения расстояний опустим из неё перпендикуляры на обе стороны. Получившиеся отрезки и будут расстояниями от точки до сторон угла.

1. Обозначим вершину угла O, точку на биссектрисе P, а основания перпендикуляров на сторонах — A и B. Тогда углы OAP и OBP прямые, а отрезок OP — общая гипотенуза треугольников OAP и OBP.
2. Так как OP лежит на биссектрисе, углы AOP и POB равны. Прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузу и острый угол, поэтому они равны.
3. У равных треугольников соответствующие стороны равны, следовательно, PA = PB. Эти отрезки являются перпендикулярами к сторонам угла, значит, расстояния от P до сторон равны.

Ответ: точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.

Построить точку, равноудалённую от двух прямых и лежащую на заданной прямой

Обозначим пересекающиеся прямые a и b, а заданную прямую — l. Искомая точка должна одновременно лежать на l и на геометрическом месте точек, равноудалённых от a и b. Значит, нужно найти пересечения l с двумя биссектрисами углов между a и b.

1. Постройте биссектрисы всех четырёх углов, образованных прямыми a и b. Они образуют две взаимно перпендикулярные прямые, поэтому достаточно построить по одной биссектрисе из двух соседних углов.
2. Отметьте точки пересечения каждой биссектрисы с прямой l. Каждая такая точка лежит на геометрическом месте и на заданной прямой, поэтому является кандидатом на ответ.
3. Проверьте каждую найденную точку: если она принадлежит l и расстояния до a и b равны, она подходит. Если задача требует выбрать точку в определённой области или с дополнительным свойством, оставьте только удовлетворяющие ему пересечения.

Ответ: подходящие пересечения заданной прямой с биссектрисами; их количество зависит от расположения прямых.

Типичные ошибки

Называют только одну биссектрису и забывают вторую. Это происходит, если рассматривают один угол, не замечая остальных трёх; однако вертикальные углы дают ещё одну биссектрису-прямую. Проверьте, учтены ли две пары вертикальных углов и обе получившиеся прямые.

Считают расстоянием до прямой длину произвольного отрезка от точки. Такой отрезок может быть наклонным и не показывает расстояние: кратчайший отрезок перпендикулярен прямой. Проверьте, что у каждого измеряемого отрезка угол с прямой равен 90°.

Доказывают, что точки биссектрисы равноудалены от сторон, но не доказывают обратное. Одного направления недостаточно, чтобы утверждать, что найдены все точки с нужным свойством. Проверьте, показано ли, что любая равноудалённая точка лежит на биссектрисе.

Путают биссектрису угла с медианой или высотой треугольника. Эти линии связаны с разными объектами: биссектриса делит угол пополам, медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а высота перпендикулярна этой стороне. Чтобы проверить себя, сформулируйте определение нужной линии и посмотрите, соответствует ли ему построение.

Связь с другими темами

Для доказательств здесь нужны перпендикуляр, свойства биссектрисы и признаки равенства прямоугольных треугольников. С этими знаниями можно обосновать оба направления свойства: точки биссектрисы равноудалены от сторон, и всякая равноудалённая точка лежит на биссектрисе.

Геометрические места точек помогают решать задачи на построение: каждое условие задаёт линию или множество возможных точек, а ответ находят пересечением таких множеств. Например, центр окружности, касающейся двух пересекающихся прямых, лежит на одной из биссектрис углов между ними, поскольку радиусы к прямым перпендикулярны и равны.

Что запомнить

• Геометрическое место точек задаётся общим свойством этих точек.
• Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
• Точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на его биссектрисе.
• Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
• Для двух пересекающихся прямых геометрическое место состоит из двух биссектрис.
• Биссектрисы вертикальных углов перпендикулярны.
• В задачах на равноудалённость нужно строить соответствующие биссектрисы.