8.3. Построение отрезка по формуле. Метод подобия в задачах на построение

Определения и обозначения

Построение отрезка по формуле — построение отрезка, длина которого выражена через длины уже заданных отрезков с помощью арифметических действий. Например, если известны длины a и b, можно построить длину a + b или, при a ≥ b, длину a − b. Это нужно, чтобы получать новые отрезки циркулем и линейкой, не измеряя их численно.

Среднее геометрическое двух положительных отрезков — отрезок длины √(ab), где a и b — длины данных отрезков. Например, для длин 4 и 9 среднее геометрическое равно √36 = 6. Такое понятие помогает построить длину, которую удобно связать с высотой прямоугольного треугольника.

Метод подобия — способ решения задачи на построение, при котором сначала строят подобную искомой фигуру удобного размера, а затем переходят к нужному масштабу. Подобные фигуры имеют одинаковые соответствующие углы, но их стороны могут быть разной длины. Метод нужен, когда сначала проще определить форму фигуры, а размер подобрать отдельно.

Вспомогательная фигура — фигура, построенная для поиска способа решения и связанная с искомой отношением подобия. Её размер можно выбрать удобным, поэтому она не всегда является ответом. По ней находят форму и соответствия элементов, а затем выполняют окончательное построение.

Как это устроено

Сумму двух длин получают, откладывая отрезки один за другим на одном луче. Начало второго отрезка совмещают с концом первого, поэтому расстояние от начала луча до последней отметки складывается из двух частей и равно a + b. Для разности начала отрезков совмещают, а меньший располагают внутри большего. Оставшийся участок имеет длину a − b, поэтому такой способ работает, если a ≥ b.

Произведение и частное длин удобнее строить не прямым умножением, а через пропорцию. Например, для x = ab/c можно записать a : c = x : b: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть ab = cx. Параллельная прямая в угле отсекает пропорциональные отрезки на его сторонах, что следует из теоремы Фалеса. Поэтому достаточно правильно расположить известные длины и провести параллель, чтобы получить нужный отрезок; при этом c не должно равняться нулю.

Среднее геометрическое строят через прямоугольный треугольник. На прямой откладывают два отрезка длиной a и b подряд и рассматривают их как части гипотенузы. Если построить на всей гипотенузе прямоугольный треугольник, то высота h, опущенная на неё, удовлетворяет равенству h² = ab. Значит, длина высоты равна √(ab); она существует для положительных a и b.

В методе подобия сначала отделяют форму фигуры от её размера. Нужно выяснить, какие элементы искомой фигуры заданы условиями, а какие можно выбрать произвольно: например, углы треугольника заданы, но его стороны пока можно взять удобной длины. Так строят вспомогательную фигуру той же формы. Произвольный выбор размера допустим, потому что подобие сохраняет углы и отношения соответствующих сторон.

После построения вспомогательной фигуры устанавливают, какие её стороны и углы соответствуют элементам искомой. По известной длине находят коэффициент подобия: это отношение длины соответствующего элемента искомой фигуры к длине во вспомогательной. Затем все соответствующие длины увеличивают или уменьшают в одинаковое число раз. Так фигура получает нужный масштаб, не теряя формы и не нарушая заданных условий.

Построение отрезков по формулам и основная идея

Сначала найдите в таблице выражение, похожее на требуемую длину, и выберите указанный приём. Затем проверьте ограничения: например, делитель не равен нулю, а вычитаемый отрезок не длиннее исходного. Для фигуры по методу подобия дополнительно убедитесь, что все соответствующие длины изменены в одном масштабе.

Разбор задач

Сумма и разность отрезков

Условие. Даны отрезки a и b, причём a ≥ b. Постройте отрезки длины a + b и a − b. Для суммы удобно соединить длины последовательно на одном луче, а для разности — совместить начала и сравнить концы отрезков.

1. Проведите луч с началом O и циркулем отложите на нём отрезок OA = a.
2. От точки A в том же направлении отложите AB = b. Тогда OB = OA + AB = a + b.
3. Для разности проведите новый луч из точки O и отложите на нём OC = a. Из того же начала отметьте OD = b.
4. Так как a ≥ b, точка D не лежит дальше точки C. Отрезок DC равен a − b; при a = b его длина равна нулю.

Ответ: OB = a + b, DC = a − b. Проверьте построение по расположению точек: для суммы B находится за A, а при разности конец меньшего отрезка не выходит за конец большего.

Отрезок длины ab/c

Условие. Даны положительные отрезки a, b и c. Требуется построить x = ab/c. Идея состоит в том, чтобы заменить формулу пропорцией a : c = x : b: в ней искомая длина связана с известными теоремой Фалеса.

1. Запишите пропорцию a : c = x : b и убедитесь, что она верна для искомого значения: a · b = c · x.
2. Постройте угол с вершиной O и проведите две его стороны. На одной стороне отметьте OA = c и OB = a, а на другой — OC = b; расположите точки так, чтобы соответствующие отрезки задавали нужное отношение.
3. Соедините одну пару соответствующих точек, например A и C. Через B проведите прямую, параллельную AC, до пересечения со второй стороной угла в точке D.
4. По теореме Фалеса отрезки на сторонах угла пропорциональны: OA : OB = OC : OD. Следовательно, c : a = b : OD, откуда OD = ab/c.

Ответ: искомый отрезок — OD. Здесь c ≠ 0, а расположение отрезков на сторонах угла должно сохранять указанное соответствие; перед построением полезно проверить пропорцию умножением крест-накрест.

Треугольник по двум углам и высоте

Условие. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла. Пусть известны углы α и β, а длина высоты равна h. Два угла определяют форму треугольника, но его размер пока можно выбрать произвольно.

1. Постройте треугольник произвольного удобного размера с заданными углами α и β. Третий угол определяется суммой углов треугольника: 180° − α − β.
2. Из вершины третьего угла опустите перпендикуляр на противоположную сторону и обозначьте его длину h₀. Полученный треугольник будет вспомогательным.
3. Найдите коэффициент подобия k = h/h₀. Это отношение показывает, во сколько раз нужно увеличить или уменьшить каждую длину вспомогательного треугольника.
4. Постройте соответствующую сторону, умноженную на k, и перенесите масштаб на остальные стороны, сохранив все углы. Тогда новая высота станет равна h.

Ответ: построенный треугольник имеет заданные углы и высоту. Если h₀ и h положительны, коэффициент подобия также положителен; проверка высоты и обоих углов подтверждает выполнение условий.

Типичные ошибки

При построении пропорции иногда переставляют отрезки и получают не то отношение. Это происходит, когда соответствия сторон не отмечены заранее: даже верно проведённая параллель тогда даёт неправильную длину. Запишите пропорцию до построения и проверьте её умножением крайних и средних членов.

Для разности можно не проверить, что вычитаемый отрезок не длиннее исходного. Тогда точка конца меньшего отрезка окажется за концом большего, и выбранный участок уже не будет означать положительную разность a − b. Сравните длины до построения и убедитесь, что меньший отрезок помещается внутри большего.

Вспомогательную фигуру иногда принимают за окончательный ответ. Её размер часто выбран произвольно, поэтому фигура может иметь нужную форму, но не выполнять условие о конкретной стороне или высоте. Сравните её известный элемент с заданной длиной и, если они не равны, выполните масштабирование.

При переходе к искомому размеру можно случайно изменить углы или по-разному растянуть стороны. Так исчезает подобие: оно сохраняется только тогда, когда все соответствующие длины умножены на один коэффициент. Проверьте, что отношения соответствующих сторон одинаковы и заданные углы остались прежними.

Связь с другими темами

Для этих построений нужны базовые навыки работы циркулем и линейкой: проведение луча, откладывание заданного отрезка и построение параллельной прямой. Без них нельзя аккуратно выполнить ни сложение длин, ни построение пропорции. Полезно также уметь сравнивать отрезки и следить за положением точек на луче.

Построение произведения и частного связано с пропорциями и теоремой Фалеса, а метод подобия — с признаками подобия треугольников. Эти знания пригодятся в более сложных задачах на построение: сначала можно найти форму фигуры, а затем определить её размер, не нарушая заданных угловых условий.

Что запомнить

• Сумму и разность отрезков строят последовательным откладыванием.
• Произведение и частное длин можно свести к пропорции.
• Параллельные прямые помогают строить отрезки в заданном отношении.
• Метод подобия разделяет поиск формы фигуры и подбор её размера.
• У подобных фигур равны соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны.
• В конце построения нужно проверить все исходные условия задачи.