8.2. Некоторые теоремы и задачи геометрии. Метод подобия

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что их форма одинакова, хотя размеры могут быть разными. Такое понятие помогает переносить свойства одной фигуры на другую и находить неизвестные длины.

Соответствующие элементы — углы и стороны, занимающие одинаковое положение в двух сравниваемых фигурах. Например, если вершины A и D соответствуют друг другу, то сторона AB может соответствовать стороне DE. Правильное сопоставление нужно, чтобы составить верную пропорцию и не сравнить случайные стороны.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон подобных фигур. Если записать отношение сторон первого треугольника ко второму, коэффициент покажет, во сколько раз длины первого больше или меньше. Он нужен для перехода от известных длин одной фигуры к неизвестным длинам другой.

Метод подобия — способ решения геометрической задачи, при котором устанавливают подобие фигур и используют равенство углов и пропорциональность сторон. Сначала в чертеже ищут фигуры с подходящими углами, а затем связывают их стороны. Так можно получить неизвестную длину или обосновать нужное геометрическое свойство.

Как это устроено

Чтобы распознать подобие треугольников, достаточно установить равенство двух пар соответствующих углов. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому равенство двух углов автоматически даёт равенство третьей пары. Значит, у треугольников совпадают все углы, а по признаку подобия их соответствующие стороны пропорциональны.

Пропорцию составляют только после того, как установлено соответствие вершин и сторон. Если вершины A и D, B и E, C и F соответствуют друг другу, то AB соответствует DE, а AC — DF. Поэтому можно записать AB/DE = AC/DF; порядок в обоих отношениях одинаков, и пропорция связывает именно соответствующие стороны.

Коэффициент подобия позволяет пересчитывать длины. Например, если стороны большего треугольника делить на соответствующие стороны меньшего, получится коэффициент увеличения; неизвестную сторону находят из той же пропорции. Перед вычислением полезно проверить, какой треугольник стоит первым: при смене порядка коэффициент становится обратным.

Подобие может помочь доказать, что прямые параллельны. Если удаётся показать равенство углов, образованных прямыми и секущей, применяют признак параллельности прямых. Если точки на сторонах треугольника делят эти стороны в одинаковом отношении, используют обратную теорему Фалеса; равенство отношений показывает, что соединяющий точки отрезок параллелен третьей стороне.

Решение методом подобия начинается с поиска треугольников на чертеже. Часто у них есть общий угол, а ещё одна пара углов равна из-за параллельных прямых или является общей. После доказательства подобия нужно выписать соответствующие стороны и составить пропорцию: именно она связывает искомый отрезок с известными величинами.

Что следует из подобия треугольников

Сначала найди в таблице элементы, которые известны или нужны в задаче. Затем проверь соответствие сторон и запиши отношения в одинаковом порядке. Для периметров используй тот же коэффициент, что и для соответствующих сторон.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF равны углы A и D, а также углы B и E. Определите, подобны ли треугольники, и укажите соответствующие вершины.

1. Сопоставим данные углы: A соответствует D, B соответствует E.
2. В каждом треугольнике сумма углов равна 180°. Поэтому углы C и F тоже равны.
3. По признаку подобия по двум углам треугольники ABC и DEF подобны. Соответствие вершин записывается так: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Ответ: треугольники подобны; соответствующие вершины — A и D, B и E, C и F.

Задача 2. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны; AB = 6 см, A₁B₁ = 9 см, AC = 8 см. Найдите соответствующую сторону A₁C₁.

1. По порядку записи треугольников A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁. Поэтому AB соответствует A₁B₁, а AC — A₁C₁.
2. Найдём отношение сторон второго треугольника к первому: A₁B₁/AB = 9/6 = 1,5. Значит, стороны второго треугольника в 1,5 раза больше соответствующих сторон первого.
3. Тогда A₁C₁/AC = 1,5, откуда A₁C₁ = 8 · 1,5 = 12 см. Результат согласуется с тем, что второй треугольник крупнее.

Ответ: A₁C₁ = 12 см.

Задача 3. В треугольнике ABC точки M на AB и N на AC таковы, что AM = 4 см, AB = 10 см, AN = 6 см, AC = 15 см. Докажите, что MN параллельна BC.

1. Сравним, какую часть каждой стороны составляет отрезок от вершины A: AM/AB = 4/10 = 2/5, а AN/AC = 6/15 = 2/5.
2. Получили равные отношения. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AB и AC и делят их в согласованном порядке, считая от одной вершины A.
3. По обратной теореме Фалеса отрезок, соединяющий такие точки, параллелен третьей стороне треугольника. Следовательно, MN ∥ BC.

Ответ: MN параллельна BC.

Типичные ошибки

Ошибка — составить пропорцию между несоответствующими сторонами. Её допускают, если сравнивают стороны только по длине или по тому, как они расположены на рисунке. Сначала сопоставь вершины по равным углам, затем проверь, какие стороны соединяют эти вершины; в пропорции соблюдай один порядок.

Одного равенства углов недостаточно, чтобы заключить о подобии: два треугольника могут иметь только одну общую по величине пару углов. Часто путают это условие с признаком подобия по двум углам. Для проверки найди ещё одну пару равных углов или обоснуй равенство третьих после сравнения двух пар.

При вычислении коэффициента подобия иногда переворачивают отношение, не уточнив порядок фигур. Тогда получают обратный коэффициент и могут неверно оценить размер искомой стороны. До вычислений проговори, длины какой фигуры делишь на длины другой, а после проверь: коэффициент больше единицы для фигуры, которая увеличена относительно второй.

Пропорциональность двух пар отрезков сама по себе не всегда доказывает параллельность. Ошибка возникает, когда не проверяют положение точек и сопоставляют отрезки, отложенные от разных вершин. Убедись, что точки лежат на соответствующих сторонах и делят их в одном порядке; затем применяй обратную теорему Фалеса.

Связь с другими темами

Для работы с подобием нужны признаки равенства треугольников, свойства углов и признаки параллельности прямых. Умение составлять и решать пропорции помогает находить неизвестные стороны без лишних вычислений. Метод подобия применяют в доказательствах и задачах на длины, параллельность прямых и отношения отрезков. Он связывает геометрические свойства фигур с вычислениями.

Что запомнить

• Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Подобие треугольников можно установить по двум парам равных углов.
• Перед записью пропорции нужно указать соответствующие вершины и стороны.
• Коэффициент подобия зависит от порядка сравниваемых фигур.
• В решении методом подобия сначала находят подобные фигуры, затем используют их свойства.