"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
В треугольнике есть четыре важные точки, которые получают пересечением специальных линий: медиан, биссектрис, серединных перпендикуляров и высот. Они помогают находить центры окружностей, решать задачи на расстояния и доказывать свойства фигур. Центр тяжести делит медиану в отношении 2:1, а ортоцентр может лежать внутри или вне треугольника либо совпадать с его вершиной. У каждой точки есть свой способ распознавания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр тяжести — точка пересечения медиан треугольника; обычно её обозначают G. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому эта точка не является серединой медианы.
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника; её часто обозначают I. Биссектриса делит угол на два равных угла. Центр равноудалён от всех сторон треугольника, поэтому вокруг него можно провести окружность, касающуюся каждой стороны.
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам; её часто обозначают O. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом к нему. Центр равноудалён от всех трёх вершин, поэтому окружность с таким центром проходит через вершины треугольника.
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника; её обозначают H. Высота проводится из вершины перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению. Положение ортоцентра зависит от вида треугольника: он бывает внутри, вне фигуры или совпадает с вершиной.
Чтобы понять, почему медианы встречаются в одной точке, можно представить треугольник как тонкую пластинку одинаковой плотности. Его центр равновесия лежит на каждой медиане: по разные стороны от неё части пластинки уравновешивают друг друга. Поэтому три медианы имеют общую точку — центр тяжести. Эта точка делит медиану не пополам: участок от вершины вдвое длиннее участка от точки до стороны.
Биссектриса угла состоит из точек, которые одинаково удалены от его сторон. Это расстояние измеряют по перпендикуляру от точки до стороны. Если взять две биссектрисы треугольника, их пересечение окажется равноудалено от обеих сторон каждого из этих углов. Значит, расстояния до всех трёх сторон равны, и точка лежит также на биссектрисе третьего угла. Окружность с центром в этой точке и радиусом, равным расстоянию до стороны, касается всех сторон.
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Поэтому точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника одинаково удалена от трёх вершин. Она лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне: все точки этого перпендикуляра как раз равноудалены от её концов. Так находится общий центр окружности, проходящей через три вершины, — центр описанной окружности.
Высота перпендикулярна стороне, на которую опущена, поэтому для её построения иногда приходится продолжить сторону за пределы треугольника. Высоты пересекаются в одной точке — ортоцентре. В остроугольном треугольнике все высоты проходят внутри него, и там же находится ортоцентр. В прямоугольном две стороны уже являются высотами, поэтому их пересечение — вершина прямого угла. В тупоугольном пересекаются продолжения некоторых высот, и ортоцентр оказывается вне треугольника.
Чтобы узнать замечательную точку на чертеже, сначала выясни, какие именно линии проведены: медианы, биссектрисы, перпендикуляры через середины сторон или высоты. Затем проверь её особое свойство. Равные расстояния до сторон указывают на центр вписанной окружности, а равные расстояния до вершин — на центр описанной окружности. Для центра тяжести ищи отношение частей медианы, а для ортоцентра — пересечение высот.
| Точка | Какие линии пересекаются | Главное свойство | Положение точки |
|---|---|---|---|
| Центр тяжести | Три медианы | Делит медиану в отношении 2:1 от вершины | Внутри треугольника |
| Центр вписанной окружности | Три биссектрисы | Равноудалён от сторон | Внутри треугольника |
| Центр описанной окружности | Серединные перпендикуляры к сторонам | Равноудалён от вершин | Внутри остроугольного, на середине гипотенузы прямоугольного, вне тупоугольного |
| Ортоцентр | Три высоты | Общая точка высот | Внутри остроугольного, в вершине прямого угла прямоугольного, вне тупоугольного |
Пользуйся таблицей как подсказкой: сначала сопоставь точку с линиями, которые её образуют, а затем проверь главное свойство. У центров окружностей есть разные признаки: один связан с расстояниями до сторон, другой — до вершин. Положение точки особенно полезно проверять для центра описанной окружности и ортоцентра.
Задача 1. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке G. Найти длину отрезка AG, если медиана AM равна 12 см. Нужно найти часть медианы от вершины до центра тяжести, а не от центра до середины стороны. Из свойства центра тяжести следует, что AG:GM = 2:1.
Обозначим AG за две равные доли отношения, а GM — за одну такую долю. Тогда вся медиана AM состоит из трёх одинаковых долей: двух от A до G и одной от G до M.
Разделим длину AM на три части: 12 : 3 = 4 см. Одна доля равна 4 см, а отрезок AG занимает две доли.
Найдём длину AG: 2 · 4 = 8 см. Проверка: оставшийся отрезок GM равен 4 см, а 8:4 = 2:1.
Ответ: AG = 8 см.
Задача 2. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке I. Докажем, что I лежит на биссектрисе угла C и равноудалена от всех сторон. Обозначим расстояния от I до прямых AB, AC и BC перпендикулярами. Точка I находится на двух биссектрисах, поэтому применим свойство точек биссектрисы.
Поскольку I лежит на биссектрисе угла A, расстояния от неё до сторон AB и AC равны. Обозначим их d: расстояние до AB равно d, и расстояние до AC тоже равно d.
Точка I лежит и на биссектрисе угла B, значит, расстояния до сторон BA и BC равны. Прямая BA та же, что AB, поэтому расстояние до BC также равно d.
Получилось, что расстояния от I до AC и BC равны. По обратному свойству биссектрисы такая точка лежит на биссектрисе угла C. Расстояния до всех сторон равны, следовательно, I — центр вписанной окружности.
Ответ: I лежит на биссектрисе угла C и равноудалена от сторон AB, AC и BC.
Задача 3. Определить положение ортоцентра и центра описанной окружности в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. Начнём с ортоцентра: мысленно или на чертеже проведём высоты, при необходимости продолжая стороны. Затем построим серединные перпендикуляры и найдём, где они пересекаются.
В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри, значит, там находится ортоцентр. Серединные перпендикуляры тоже пересекаются внутри: точка равноудалена от всех вершин, поэтому является центром описанной окружности.
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами и пересекаются в вершине прямого угла — это ортоцентр. Центр описанной окружности находится на середине гипотенузы: эта точка равноудалена от всех трёх вершин.
В тупоугольном треугольнике некоторые высоты попадают на продолжения сторон, поэтому ортоцентр находится вне треугольника. Серединные перпендикуляры также пересекаются вне треугольника; расстояния от их общей точки до всех вершин равны.
Ответ: в остроугольном треугольнике обе точки внутри; в прямоугольном ортоцентр — вершина прямого угла, а центр описанной окружности — середина гипотенузы; в тупоугольном обе точки вне треугольника.
Иногда считают, что точка пересечения двух медиан никак не связана с третьей. Ошибка возникает, если запомнить только построение, но забыть свойство всех трёх медиан. Проверь себя: проведи третью медиану — она тоже должна пройти через ту же точку. Для построения центра тяжести достаточно двух медиан именно потому, что у трёх медиан есть общая точка.
Центр вписанной окружности путают с центром описанной, поскольку оба связаны с окружностью и лежат на пересечении линий. Но первый равноудалён от сторон, а второй — от вершин. Перед решением отметь, что именно измеряется: перпендикуляр до стороны или расстояние до вершины. Это простое уточнение помогает выбрать биссектрисы или серединные перпендикуляры.
Ортоцентр ошибочно помещают внутрь любого треугольника, ориентируясь на остроугольный случай. Причина в том, что высоты не всегда целиком проходят внутри: иногда приходится продолжать сторону. Проверь вид треугольника: в прямоугольном ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном находится снаружи.
Ещё одна ошибка — делить медиану в центре тяжести пополам. Это происходит, если спутать центр тяжести с серединой отрезка или не уточнить, откуда считают отношение. Запиши AG:GM = 2:1: часть от вершины в два раза длиннее части до стороны. Для проверки сложи обе части — должна получиться длина всей медианы.
Для этой темы нужно знать, что такое медиана, биссектриса, высота и серединный перпендикуляр, а также помнить свойства равнобедренного треугольника и окружности. Эти знания помогают строить вписанные и описанные окружности и решать задачи на расстояния и углы. Замечательные точки пригодятся в доказательствах, когда нужно установить совпадение точек или найти центр окружности. Позже те же свойства используются при изучении окружностей, подобных треугольников и геометрических построений.
Почему достаточно построить только две медианы, чтобы найти центр тяжести?
Три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому точка пересечения двух построенных медиан уже является центром тяжести и лежит на третьей медиане.
Как отличить центр вписанной окружности от центра описанной окружности?
Центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника и находится на пересечении биссектрис. Центр описанной окружности равноудалён от вершин и находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Почему точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон?
Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон. Точка пересечения биссектрис двух углов поэтому равноудалена от всех трёх сторон треугольника.
Где находится ортоцентр прямоугольного и тупоугольного треугольника?
В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. В тупоугольном он лежит вне треугольника, потому что пересекаются продолжения высот.
Можно ли по одной замечательной точке восстановить соответствующие линии треугольника?
Да, если известен сам треугольник и известно, какая это точка. Например, через центр тяжести можно провести медианы к вершинам, а через ортоцентр — высоты.
8.1. Замечательные точки треугольника
