"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Среднее пропорциональное между двумя положительными отрезками — это отрезок, квадрат длины которого равен произведению длин данных отрезков. Его можно построить циркулем и линейкой: отложить отрезки подряд, построить полуокружность на их общей длине и провести перпендикуляр в точке соединения. Этот способ основан на подобии прямоугольных треугольников и помогает находить высоту к гипотенузе, а также геометрическое среднее двух длин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Среднее пропорциональное между отрезками a и b — это отрезок x, для которого a : x = x : b. По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому a · b = x · x, то есть x² = ab. Это равенство удобно для проверки построения и вычисления длины.
Геометрическое среднее двух положительных отрезков a и b — длина √(ab). Она совпадает со средним пропорциональным: если x² = ab и x положителен, то x = √(ab). Название напоминает, что нужная величина определяется через произведение, а не через сумму длин.
Пропорция — это равенство двух отношений, например a : x = x : b. Чтобы перейти к равенству произведений, умножают крайний и средний члены пропорции: получают ab = x². Так пропорция связывает определение среднего пропорционального с квадратом его длины.
Полуокружность с диаметром, составленным из отрезков a и b, — геометрическая конструкция для получения искомого отрезка. Если провести перпендикуляр из точки соединения частей диаметра до полуокружности, он станет высотой прямоугольного треугольника. Благодаря свойству этой высоты её длина будет средним пропорциональным между a и b.
Сначала задачу о среднем пропорциональном переводят в задачу о построении длины x, для которой x² = ab. Это следует из пропорции a : x = x : b: по основному свойству пропорции a · b = x · x. Значит, нужно получить не сумму или полусумму данных длин, а отрезок, чей квадрат равен их произведению.
На одной прямой откладывают подряд сначала a, затем b, чтобы получился отрезок длиной a + b с отмеченной точкой соединения частей. На всём отрезке строят полуокружность, считая его диаметром. В точке соединения проводят перпендикуляр к диаметру и продолжают его до пересечения с полуокружностью. Порядок важен: именно точка соединения разделяет диаметр на заданные части a и b.
Обозначим концы диаметра A и C, точку соединения частей — B, а точку пересечения перпендикуляра с полуокружностью — D. Треугольник ADC прямоугольный, потому что угол ADC опирается на диаметр AC. Отрезок BD перпендикулярен AC, следовательно, это высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника ADC. Эта высота образует два меньших прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному: у них есть прямые углы и равные острые углы.
Из подобия треугольников следует, что отношение части гипотенузы AB к высоте BD равно отношению высоты BD к части BC. Если AB = a, BC = b и BD = x, получаем a : x = x : b, а значит, x² = ab. Так как BD — длина отрезка, она положительна, поэтому x = √(ab). Проверить построение можно, сравнив отношения a : x и x : b либо проверив равенство x² = ab.
| Этап или характеристика | Что выполняют | Почему это даёт нужный результат |
|---|---|---|
| Исходные данные | Два положительных отрезка a и b | Искомый отрезок x должен удовлетворять x² = ab |
| Построение диаметра | На прямой последовательно откладывают a и b | Получают диаметр длиной a + b |
| Построение полуокружности | Строят полуокружность на диаметре a + b | Точка соединения отрезков делит диаметр на части a и b |
| Построение искомого отрезка | В точке соединения проводят перпендикуляр до полуокружности | Полученная высота является средним пропорциональным |
| Обоснование и проверка | Используют подобие прямоугольных треугольников | Из подобия следует x² = ab и a : x = x : b |
Сначала проверьте, что части диаметра отложены в нужном порядке и имеют длины a и b. Затем убедитесь, что перпендикуляр проведён именно из точки их соединения. Обоснование завершите подобием треугольников и равенством x² = ab.
Нужно построить отрезок x, для которого 4 : x = x : 9. По основному свойству пропорции его квадрат должен быть равен 4 · 9. Геометрическое построение позволяет получить эту длину без измерения корня линейкой.
Ответ: 6 см. При построении перпендикуляр может оказаться не равен одной из исходных частей, и это нормально: его длина определяется произведением 4 · 9.
Числовые значения отрезков не заданы, поэтому ответом будет геометрическая конструкция и доказательство её свойства. Обозначим искомую длину через x. Требуется показать, что после построения выполняется x² = ab.
Ответ: отрезок BD — искомое среднее пропорциональное. Построение подходит для любых положительных a и b, даже если их длины различаются.
Пусть высота имеет длину x. Для прямоугольного треугольника высота, опущенная на гипотенузу, является средним пропорциональным между частями гипотенузы. Поэтому x² = 5 · 12 = 60 и x = √60 = 2√15 см, приблизительно 7,75 см. Построить её можно тем же способом, что и среднее пропорциональное между 5 см и 12 см.
Ответ: высота равна 2√15 см, или приблизительно 7,75 см. Построение задаёт отрезок точно, даже если числовое значение корня не является целым.
Если отрезки a и b откладывают не подряд на одной прямой, отмеченная точка не делит диаметр на нужные части. Так бывает, когда отрезки строят отдельно и не связывают их общей точкой. Проверьте, что они образуют один отрезок длиной a + b и между ними отмечена точка соединения.
Перпендикуляр, проведённый не из точки соединения отрезков, не будет высотой, соответствующей частям a и b. Ошибку легко допустить, если выбрать другую точку диаметра, не сверив построение с исходными длинами. Проверьте, что основание перпендикуляра делит диаметр именно на a и b.
Нельзя считать искомую длину равной (a + b) / 2: это среднее арифметическое, а не среднее пропорциональное. Их смешивают из-за слова «среднее», хотя определения у величин разные. Для проверки подставьте найденное число в x² = ab; если равенство не выполняется, длина выбрана неверно.
В доказательстве легко перепутать части диаметра или записать x² = a + b. Такая ошибка возникает, если не проследить, какие стороны соответствуют друг другу в подобных треугольниках. Обозначьте AB = a, BC = b, BD = x и проверьте пропорцию a : x = x : b: из неё должно получиться x² = ab.
Для построения нужны умения проводить перпендикуляр, строить серединный перпендикуляр и окружность циркулем и линейкой. Эти построения позволяют точно задать диаметр полуокружности и высоту к нему. Также нужно узнавать подобные прямоугольные треугольники и использовать пропорциональность соответствующих сторон.
Приём связан со свойствами прямоугольного треугольника: высота к гипотенузе определяется через части, на которые она её делит. Поэтому построение помогает решать задачи на высоту и геометрическое среднее, а также переходить от вычисления длины к её построению.
Почему среднее пропорциональное связано с квадратным корнем из произведения отрезков?
По определению a : x = x : b, а основное свойство пропорции даёт x² = ab. Поскольку длина x положительна, получаем x = √(ab).
Почему отрезки a и b нужно откладывать на одной прямой подряд?
Тогда они составляют части одного диаметра, а точка их соединения делит его именно на длины a и b. Перпендикуляр в этой точке станет высотой прямоугольного треугольника, для которой выполняется нужное соотношение.
Как доказать, что построенная высота действительно является средним пропорциональным?
Высота к диаметру образует два прямоугольных треугольника, подобных исходному и друг другу. Из пропорциональности их сторон следует, что квадрат высоты равен произведению частей гипотенузы: x² = ab.
Можно ли построить среднее пропорциональное, если отрезки имеют разные длины?
Да, построение подходит для любых двух положительных отрезков, в том числе неодинаковой длины. Их последовательно откладывают на прямой, а полученный перпендикуляр имеет длину √(ab).
Чем среднее пропорциональное отличается от среднего арифметического?
Среднее пропорциональное определяется условием x² = ab и равно √(ab). Среднее арифметическое равно (a + b) / 2, поэтому это разные величины и разные способы их нахождения.
§ 2. Построение отрезка, среднего пропорционального между двумя данными отрезками
