"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
В прямоугольном треугольнике длины катетов, гипотенузы, высоты к ней и отрезков гипотенузы связаны простыми равенствами. Эти метрические соотношения позволяют находить неизвестные элементы, даже если прямое применение теоремы Пифагора неудобно. Их основа — подобие треугольников, на которые высота делит исходный треугольник. Главное — правильно сопоставлять катет с его проекцией и помнить, что длины отрезков положительны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°. Стороны, образующие этот угол, называются катетами, а сторона напротив него — гипотенузой. Такое обозначение помогает сразу увидеть, какие стороны связаны теоремой Пифагора и метрическими соотношениями.
Проекция катета — отрезок гипотенузы, соответствующий этому катету при перпендикулярном проектировании. Проще говоря, это часть гипотенузы, расположенная у того же конца катета, который лежит на гипотенузе. Проекции нужны, чтобы выразить длины сторон и высоты через отрезки гипотенузы.
Метрические соотношения — равенства, связывающие длины катетов, гипотенузы, высоты и проекций в прямоугольном треугольнике. Они позволяют найти неизвестную длину по известным элементам, не измеряя её напрямую. Поэтому важно сначала правильно назвать и обозначить каждый отрезок.
Геометрическое среднее двух положительных величин — такая величина, квадрат которой равен произведению этих величин. Например, если h² = mn, то h — геометрическое среднее между m и n. Это понятие помогает прочитать некоторые формулы как правило о среднем пропорциональном.
Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом C. Обозначим AB = c, AC = b, BC = a, а высоту CD = h; точка D делит гипотенузу на AD = m и DB = n. Эти обозначения фиксируют, какая проекция принадлежит каждому катету: катету AC соответствует AD, а катету BC — DB. Такое сопоставление особенно важно, когда подставляем числа в формулы.
Высота CD перпендикулярна гипотенузе AB, поэтому углы при D в треугольниках ACD и BCD прямые. Каждый из этих треугольников также имеет по одному общему острому углу с исходным треугольником ABC. По двум равным углам треугольники подобны исходному, а значит, подобны и друг другу.
Из подобия ABC и BCD получаем отношение соответствующих сторон BC/AB = BD/BC. После подстановки обозначений это a/c = n/a, откуда a² = cn. Аналогично из подобия ABC и ACD следует AC/AB = AD/AC, поэтому b/c = m/b и b² = cm. В обоих равенствах участвует проекция того же катета: это определяется соответствием сторон подобных треугольников.
Из подобия малых треугольников ACD и BCD следует, что h/m = n/h. Перемножив крайние и средние члены пропорции, получаем h² = mn. Значит, высота является геометрическим средним между двумя проекциями. Это соотношение удобно, когда известны обе части гипотенузы, но неизвестна высота.
Отрезки AD и DB составляют всю гипотенузу, поэтому c = m + n. Теорема Пифагора даёт ещё одну связь: a² + b² = c². Наконец, площадь можно выразить через катеты как ½ab, а через гипотенузу и высоту — как ½ch; равенство площадей приводит к ab = ch. Вместе эти формулы позволяют переходить от одних известных элементов треугольника к другим.
| Связанные элементы | Соотношение | Смысл |
|---|---|---|
| Катет, гипотенуза и проекция катета | a² = cn; b² = cm | Квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию |
| Высота и проекции катетов | h² = mn | Высота является средним пропорциональным между проекциями |
| Отрезки гипотенузы | c = m + n | Гипотенуза складывается из двух проекций |
| Катеты и гипотенуза | a² + b² = c² | Теорема Пифагора |
| Площадь через катеты и гипотенузу с высотой | ab = ch | Два способа вычисления удвоенной площади |
Сначала найди в таблице строку, где есть искомая величина и известные тебе элементы. Если неизвестных несколько, одной формулы может быть недостаточно: используй соотношения по очереди. Перед вычислением проверь, что m и n обозначают проекции нужных катетов.
Задача 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, проекция одного катета на неё — 9 см. Нужно найти этот катет. Обозначим катет через a, а его проекцию через n, чтобы применить соответствующую формулу.
Ответ: 15 см.
Задача 2. Проекции катетов равны 9 см и 16 см. Найдём гипотенузу, высоту к ней и катеты. Примем m = 9, n = 16; по условию обе проекции известны, поэтому можно начать с суммы и произведения.
Ответ: гипотенуза — 25 см, высота — 12 см, катеты — 20 см и 15 см.
Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Требуется найти гипотенузу, высоту к ней и проекции катетов. Сначала определим гипотенузу, а затем применим равенства для площади и проекций.
Ответ: гипотенуза — 10 см, высота — 4,8 см, проекции катетов — 3,6 см и 6,4 см.
Иногда катет связывают с проекцией другого катета: например, для a² используют cm вместо cn. Такая путаница возникает, когда буквы m и n запоминают без привязки к чертежу. Проверь себя по точкам: BC = a прилегает к DB = n, поэтому a² = cn.
В формулах могут забыть квадрат: записать a = cn или h = mn. Это случается, если формулу вспоминают по смыслу, но не проверяют её запись. Перед подстановкой повтори равенство целиком и убедись, что квадрат стоит у катета или высоты, а не у произведения длин.
Ещё одна ошибка — считать гипотенузу разностью проекций. Возможно, ученик переносит знакомое действие из задач на разность отрезков, хотя отрезки AD и DB составляют всю AB. Проверка проста: c = m + n, и гипотенуза должна быть длиннее каждой из своих частей.
При извлечении квадратного корня иногда выбирают отрицательное значение, например h = −12. Так происходит из-за правила об уравнении x² = 144, у которого два корня. Но длины отрезков положительны, поэтому в геометрической задаче берут только положительный корень и проверяют, что результат имеет подходящую единицу измерения.
Для вывода метрических соотношений нужно знать признаки подобия треугольников, теорему Пифагора, свойства площадей и правила извлечения квадратного корня. Подобие объясняет происхождение формул, а теорема Пифагора и равенство площадей дают дополнительные способы связать элементы. Эти соотношения применяют при вычислении высот и расстояний в геометрических задачах. Далее они помогут разбираться в прямоугольных треугольниках вместе с тригонометрическими функциями острого угла — синусом, косинусом и тангенсом.
Почему в формулах участвует именно проекция того же катета?
Это следует из подобия исходного треугольника и одного из маленьких треугольников, полученных после проведения высоты. В соответствующих отношениях катет связан с тем отрезком гипотенузы, который является его проекцией.
Как понять, какой отрезок гипотенузы является проекцией данного катета?
Посмотри на конец катета, который лежит на гипотенузе: проекцией будет прилегающий к нему отрезок гипотенузы. При обозначениях из параграфа для катета BC = a это DB = n, а для AC = b — AD = m.
Можно ли найти высоту к гипотенузе, если известны только катеты?
Да. Сначала найди гипотенузу c по теореме Пифагора, а затем используй равенство ab = ch. Получится h = ab/c.
Чем метрические соотношения отличаются от теоремы Пифагора?
Теорема Пифагора связывает квадраты катетов и гипотенузы: a² + b² = c². Метрические соотношения дополнительно связывают эти длины с высотой к гипотенузе и проекциями катетов.
Как выбрать формулу, если в задаче известны разные элементы треугольника?
Сначала обозначь известные величины и искомую, затем выбери равенство, в котором они встречаются. Если неизвестных несколько, используй несколько соотношений последовательно и проверяй, что проекция относится к нужному катету.
§ 1. Метрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника
