"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Её длину можно измерить нитью или вычислить по радиусу либо диаметру. Для любой окружности отношение длины к диаметру постоянно и обозначается буквой π; приближённо π равно 3,14. Поэтому длина окружности находится по формулам C = πd или C = 2πr. Эти формулы помогают решать геометрические задачи и находить длину края круглых предметов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром, а постоянное расстояние от неё до любой точки окружности — радиусом; его обычно обозначают r. Например, все точки окружности находятся от центра на расстоянии r, поэтому радиус помогает описать её размер и вычислять связанные с ней величины.
Длина окружности — длина замкнутой линии, которая ограничивает круг. Её можно измерить, например, обернув вокруг окружности нить, а затем измерив нить линейкой. На практике точнее и удобнее вычислять длину по радиусу или диаметру, особенно если окружность большая или её невозможно обвести нитью.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру. Оно одинаково для всех окружностей и приближённо равно 3,14; полностью записать его конечной десятичной дробью нельзя. Буква C обозначает длину окружности, а d — её диаметр, поэтому связь этих величин выражается равенством C/d = π.
У маленькой и большой окружности длины различаются, но отношение длины к диаметру у них одно и то же. Если увеличить окружность в определённое число раз, её диаметр и длина увеличатся во столько же раз: все линейные расстояния масштабируются одинаково. Поэтому при делении длины на диаметр размер окружности сокращается, и остаётся постоянное число π.
Из определения числа π следует, что C/d = π. Умножив обе части равенства на d, получаем формулу C = πd. Диаметр состоит из двух радиусов, то есть d = 2r; подстановка этого равенства даёт C = π · 2r = 2πr. Значит, формулы отличаются не результатом, а тем, какая величина известна.
Выбирайте формулу по данным задачи: если дан диаметр, удобно использовать C = πd, а если радиус — C = 2πr. Не подставляйте радиус вместо диаметра: это разные отрезки, и диаметр вдвое длиннее. Если известна длина окружности и требуется радиус, преобразуйте формулу C = 2πr и получите r = C/(2π); если нужен диаметр, используйте d = C/π.
Длина окружности прямо пропорциональна диаметру: при увеличении диаметра в k раз длина тоже увеличивается в k раз, поскольку C = πd, а π не меняется. Так же длина прямо пропорциональна радиусу, ведь C = 2πr. Например, если радиус увеличить втрое, длина окружности также станет втрое больше, а не останется прежней.
Число 3,14 используют, когда нужно получить десятичное приближение: например, вместо C = 10π см записывают C ≈ 31,4 см. Если требуется точное значение, π оставляют в ответе, поскольку 3,14 — только округление. Выбирайте степень округления по условию и не округляйте промежуточные результаты без необходимости: раннее округление может увеличить погрешность итогового ответа.
| Что известно или требуется | Формула | Что обозначают буквы |
|---|---|---|
| Длина окружности через диаметр | C = πd | C — длина, d — диаметр, π ≈ 3,14 |
| Длина окружности через радиус | C = 2πr | C — длина, r — радиус, π ≈ 3,14 |
| Диаметр через радиус | d = 2r | d — диаметр, r — радиус |
| Радиус через диаметр | r = d/2 | r — радиус, d — диаметр |
| Приближённое вычисление длины окружности | C ≈ 3,14d или C ≈ 6,28r | C — длина, d — диаметр, r — радиус |
Сначала найдите в условии известную величину и выберите соответствующую строку таблицы. Если дан радиус, не подставляйте его в формулу для диаметра: при необходимости сначала найдите d = 2r. Обозначение ≈ указывает на приближённый результат, полученный с использованием числа 3,14.
В условии дан диаметр, значит, можно сразу воспользоваться формулой C = πd. Для точного ответа оставим π, а затем отдельно найдём приближение, приняв π ≈ 3,14. Так в решении будут видны и точная зависимость, и её десятичное значение.
Ответ: C = 10π см, или приблизительно 31,4 см. Единица ответа — сантиметр, поскольку искали длину, а не площадь. Если условие требует точного результата, достаточно оставить 10π см.
Здесь дан радиус, поэтому формула C = 2πr позволяет обойтись без дополнительного поиска диаметра. Важно подставить именно 4,5 м на место r, а множитель 2 уже учитывает, что диаметр вдвое больше радиуса. Сначала получим точный ответ, затем его приближение.
Ответ: C = 9π м, или приблизительно 28,26 м. Проверка: диаметр равен 2 · 4,5 = 9 м, поэтому по формуле C = πd получается тот же результат. Такое совпадение показывает, что радиус не приняли за диаметр.
Теперь известна длина, а требуется радиус, поэтому формулу нужно преобразовать. Из C = 2πr делением обеих частей на 2π получаем r = C/(2π). При вычислении важно не остановиться на диаметре: если разделить длину на π, получится именно диаметр.
Ответ: радиус окружности равен 5 см. Проверка подстановкой в C = 2πr даёт 2 · 3,14 · 5 = 31,4 см — условие выполняется. Диаметр этой окружности вдвое больше радиуса и равен 10 см.
Ошибка: подставить радиус в формулу C = πd, не проверив, что именно обозначает d. Так могут сделать, потому что радиус часто дан в условии и его принимают за основной размер окружности. Перед вычислением подпишите данные буквами; если дан r, используйте C = 2πr или сначала найдите d = 2r.
Ошибка: считать радиус и диаметр равными. Радиус соединяет центр с точкой окружности, а диаметр проходит через центр от одной точки окружности до другой, поэтому он состоит из двух радиусов. Чтобы проверить себя, используйте равенство d = 2r: диаметр всегда вдвое больше радиуса.
Ошибка: округлять π слишком рано или записывать приближённое значение как точное. Такое случается, когда хотят быстрее получить десятичный ответ, но округление может повлиять на точность вычислений. Оставляйте π в промежуточных действиях, а в конце заменяйте его на 3,14, если этого требует задача; знак ≈ напоминает о приближении.
Ошибка: указывать длину окружности в квадратных единицах, например в см². Квадратные единицы применяют для площади, а окружность является линией и измеряется обычными единицами длины. Сверьте единицу в ответе с искомой величиной: для длины нужны миллиметры, сантиметры, метры и другие подобные единицы.
Чтобы применять формулы длины окружности, нужно знать определения радиуса и диаметра. Радиус идёт от центра до окружности, а диаметр проходит через центр и равен двум радиусам: d = 2r. Эта связь позволяет переходить от одного способа вычисления к другому.
Понятие отношения помогает понять, почему отношение длины к диаметру одинаково для всех окружностей. Пропорциональная зависимость показывает, как изменяется длина, если увеличить радиус или диаметр: во столько же раз. Эти идеи помогают не только подставлять числа, но и оценивать, каким должен быть ответ.
Формула длины окружности пригодится при вычислении длины дуги — части окружности — и при изучении площади круга. Она также применяется в практических задачах: например, чтобы оценить длину края круглого предмета или путь колеса за один оборот. В таких задачах важно привести радиус и ответ к подходящим единицам измерения.
Почему отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей?
При увеличении окружности все её линейные размеры увеличиваются в одинаковое число раз. Длина и диаметр изменяются пропорционально, поэтому их отношение остаётся постоянным. Это постоянное число обозначают π.
Чем отличаются формулы C = πd и C = 2πr?
Обе формулы находят длину одной и той же окружности. В первой используют диаметр d, а во второй — радиус r. Они равносильны, потому что d = 2r.
Как понять, какую формулу использовать, если в задаче дан радиус?
Если известен радиус, подставьте его в формулу C = 2πr. Можно сначала удвоить радиус и получить диаметр, а затем применить C = πd. Перед вычислением проверьте, какую величину требует формула.
Когда в ответе оставлять π, а когда заменять его числом 3,14?
Оставляйте π, если нужен точный ответ или условие не требует приближения. Используйте π ≈ 3,14, если нужно получить десятичное значение. Знак ≈ показывает, что число округлено.
В каких единицах записывать длину окружности?
Длину окружности записывают в единицах длины: миллиметрах, сантиметрах, метрах и других. Единицы площади здесь не подходят, потому что окружность — линия, а не область.
§ 6. Вычисление длины окружности
