§ 7. Число π

Определения и обозначения

Число π — постоянное число, равное отношению длины любой окружности к её диаметру. Если сравнить окружности разного размера, у каждой получится одно и то же отношение. Оно не зависит от того, большая окружность или маленькая, поэтому π служит общей мерой связи между длиной окружности и диаметром.

Длина окружности — длина замкнутой линии, которая ограничивает круг. Её можно измерить, например, в миллиметрах, сантиметрах или метрах, как и любую другую линию. Обозначим длину окружности буквой C: это позволяет записывать вычисления коротко и не путать длину линии с площадью круга.

Приближение числа π — его запись конечной десятичной дробью, например 3,14. Такая запись удобна для вычислений, но она не передаёт точное значение π: после цифр 3,14 десятичная запись продолжается. Поэтому результат, полученный с 3,14, обычно тоже является приближённым.

Формула длины окружности связывает её длину с диаметром или радиусом: C = πd и C = 2πr. Здесь d — диаметр, а r — радиус окружности. Формулы нужны, чтобы вычислять длину линии, когда известен один из этих размеров, не измеряя окружность целиком.

Как это устроено

Представь несколько окружностей разных размеров и измерь у каждой длину C и диаметр d. Если разделить длину на диаметр, во всех случаях получится одно и то же число — приблизительно 3,14. Причина в том, что все окружности подобны: одна получается из другой равномерным увеличением или уменьшением. При таком изменении длина и диаметр меняются в одинаковое число раз, поэтому их отношение сохраняется; его и обозначают буквой π.

Запись C/d = π говорит, что длина окружности, разделённая на диаметр, равна π. Умножим обе части равенства на d: получим C = πd. Эта формула показывает, что длина окружности прямо пропорциональна диаметру, то есть при увеличении диаметра во столько-то раз длина тоже увеличивается во столько-то раз. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому d = 2r; подстановка этого равенства даёт C = π · 2r, или C = 2πr.

Для практических вычислений часто заменяют π числом 3,14, потому что с конечной десятичной дробью проще выполнять умножение и деление. Но π не равно точно 3,14: это лишь округлённое приближение. Например, если нужно оценить длину без высокой точности, 3,14 обычно достаточно; для более точного результата берут больше знаков π или оставляют ответ в виде выражения с π. Чем меньше знаков используют, тем заметнее может быть погрешность округления.

Выбирай формулу по тому, какая величина дана в условии. Если известен диаметр, подставляй его в C = πd; если известен радиус, используй C = 2πr. Нельзя просто поставить любую известную величину на место d или r: сначала проверь обозначение и связь d = 2r. Если в задаче дан один размер, а формула требует другой, сначала найди нужную величину, например удвой радиус, чтобы получить диаметр.

Постоянство отношения C/d объясняет, почему длина окружности растёт пропорционально диаметру. Например, если диаметр увеличить вдвое, то по формуле C = πd новая длина будет равна π · 2d, то есть станет вдвое больше. Точно так же при увеличении диаметра втрое длина возрастёт втрое. Радиус меняется вместе с диаметром, поскольку d = 2r, поэтому такое же соответствие действует и для радиуса.

Число π и формулы длины окружности

Сначала найди в условии известную величину: d или r, а затем выбери соответствующую строку с формулой. Обозначения помогают не перепутать радиус с диаметром. Единицы длины в ответе должны совпадать с единицами заданного размера.

Разбор задач

1. Диаметр окружности равен 10 см. Найдите её длину, приняв π ≈ 3,14.

Известен диаметр, поэтому подходит формула C = πd. Подставим значение диаметра и приближение числа π. В результате получим длину окружности, а единицу измерения сохраним от условия — сантиметры.

1. Записываем формулу: C = πd.
2. Подставляем данные: C ≈ 3,14 · 10 см.
3. Выполняем умножение: C ≈ 31,4 см.

Ответ: примерно 31,4 см. Слово «примерно» уместно, потому что вместо точного π использовали 3,14.

2. Длина окружности равна 31,4 м. Найдите её диаметр и радиус, приняв π ≈ 3,14.

В условии дана длина окружности, а требуется найти диаметр и радиус. Начнём с формулы C = πd и выразим из неё диаметр: d = C/π. Затем радиус найдём как половину диаметра, поскольку диаметр состоит из двух радиусов.

1. Находим диаметр: d ≈ 31,4 м / 3,14 = 10 м.
2. Используем связь d = 2r, значит r = d/2.
3. Вычисляем радиус: r = 10 м / 2 = 5 м.

Ответ: диаметр — 10 м, радиус — 5 м. Проверка: 3,14 · 10 м = 31,4 м, то есть исходная длина окружности получилась.

3. Длина одной окружности вдвое больше длины другой. Во сколько раз отличаются их диаметры и радиусы?

Сравним окружности с помощью формулы C = πd. В обеих формулах множитель π один и тот же, поэтому отношение длин окружностей равно отношению их диаметров. Если длина первой окружности вдвое больше, то и её диаметр вдвое больше; радиусы отличаются так же, потому что каждый радиус равен половине соответствующего диаметра.

1. Обозначим длины окружностей C₁ и C₂, причём C₁ = 2C₂.
2. Из C = πd следует C₁/C₂ = d₁/d₂, поэтому d₁/d₂ = 2.
3. Так как r = d/2 для каждой окружности, r₁/r₂ также равно 2.

Ответ: диаметры отличаются в 2 раза, и радиусы тоже отличаются в 2 раза. Речь идёт о соответствующих размерах первой и второй окружностей.

Типичные ошибки

При известном радиусе иногда записывают C = πr, забывая множитель 2. Так происходит, если не учитывать, что формула C = πd использует диаметр, а не радиус. Проверь себя: подставь d = 2r в формулу через диаметр — должна получиться запись C = 2πr.

Число 3,14 могут принять за точное значение π, потому что в задачах его часто используют без пояснений. На самом деле это только конечное приближение, поэтому вычисленный результат может немного отличаться от точного. Проверка простая: сохраняй знак ≈, если подставляешь 3,14, и указывай приближённость ответа при необходимости.

Ещё одна ошибка — подставить радиус вместо диаметра в C = πd или диаметр вместо радиуса в C = 2πr. Обычно так происходит, когда обозначения d и r не сверяют с условием задачи. Перед вычислениями подпиши известную величину и проверь формулу: после подстановки все величины должны соответствовать своим обозначениям.

Длину окружности иногда записывают в квадратных сантиметрах или квадратных метрах. Квадратные единицы относятся к площади, а длина линии измеряется в обычных единицах длины. Проверь ответ по исходным данным: если радиус дан в сантиметрах, длина окружности тоже должна быть в сантиметрах.

Связь с другими темами

Для работы с числом π нужны определения окружности, радиуса и диаметра. Радиус соединяет центр окружности с её точкой, а диаметр проходит через центр и равен двум радиусам: d = 2r. Без этого соотношения легко выбрать не ту формулу или забыть множитель 2.

Формула длины окружности пригодится в задачах о кругах и движении по круговой траектории. Например, чтобы оценить расстояние, которое проходит колесо за один полный оборот, можно найти длину его окружности. Если оборотов несколько, длину одного оборота умножают на их количество.

Что запомнить

• Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.
• Это постоянное отношение обозначают числом π.
• Для вычислений часто используют приближение π ≈ 3,14.
• Длина окружности вычисляется по формуле C = πd.
• Если известен радиус, используют формулу C = 2πr.
• Длина окружности и радиус или диаметр выражаются в одинаковых единицах длины.