§ 8. Вычисление длины дуги окружности

Определения и обозначения

Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают её. Такой угол определяет дугу, расположенную между точками пересечения сторон с окружностью. По углу можно установить, какую часть окружности занимает эта дуга. Поэтому центральный угол нужен, чтобы связать форму дуги с её длиной.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Если концы дуги не являются концами диаметра, между ними можно выделить меньшую и большую дуги. При вычислениях важно понимать, о какой из них говорится: им соответствуют разные центральные углы. Если концы — концы диаметра, обе дуги являются полуокружностями.

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла. Например, угол 60° определяет дугу с градусной мерой 60°. Это позволяет находить долю дуги от всей окружности, полный угол которой равен 360°. Градусная мера показывает размер дуги, но сама по себе не является её длиной.

Длина дуги — длина части окружности между двумя точками; обозначим её буквой l. В отличие от градусной меры, длина измеряется единицами длины, например сантиметрами. Одинаковый угол может определять дуги разной длины на окружностях разных размеров. Чтобы найти l, нужно знать радиус и угол либо длину всей окружности и угол.

Как это устроено

Вся окружность соответствует полному центральному углу 360°. Если дуге соответствует угол α, то её доля от всей окружности равна α/360°. Длина дуги занимает ту же долю от длины окружности, что и угол от 360°, поскольку при равномерном обходе окружности углу соответствует пропорциональная часть пути. Значит, длину всей окружности нужно умножить на эту долю.

Длина окружности радиуса R равна 2πR. Подставляя её в правило о доле, получаем формулу для угла в градусах: l = 2πR · α/360°. Например, при угле 90° берётся четверть окружности, потому что 90/360 = 1/4. Формула подходит и для больших дуг, если α берут между 0° и 360° согласно выбранной дуге.

При неизменном центральном угле доля α/360° остаётся постоянной. Если радиус увеличить, длина всей окружности увеличится во столько же раз, и соответствующая дуга тоже станет во столько же раз длиннее. Поэтому при фиксированном угле длина дуги прямо пропорциональна радиусу. Это объясняет, почему одна и та же часть большого круга длиннее такой же части маленького.

Угол можно выразить не только в градусах, но и в радианах. Радианная мера α показывает, сколько радиусов укладывается в длине соответствующей дуги: α = l/R. Отсюда следует формула l = Rα, где α обязательно задан в радианах. Полный угол 360° равен 2π радиан, поэтому для перевода градусов в радианы угол умножают на π/180°.

Из формулы можно найти любую неизвестную величину: например, при градусной мере α = 360°l/(2πR), а при радианной — α = l/R. Если нужно найти радиус, соответствующие выражения будут R = 360°l/(2πα) и R = l/α. После вычислений проверь единицы угла и сравни длину дуги с длиной всей окружности: при угле меньше 360° дуга должна быть короче 2πR. Такая проверка помогает заметить ошибку в подстановке или вычислениях.

Формулы для вычисления длины дуги

Сначала найди в таблице, какие величины известны и в каких единицах задан угол. Если угол дан в градусах, используй формулу с делением на 360°, а если в радианах — l = Rα. Перед подстановкой переведи угол в нужные единицы, если они не совпадают с выбранной формулой.

Разбор задач

1. Угол задан в градусах

Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если соответствующий центральный угол равен 60°. Известны радиус R = 6 см и угол α = 60°, поэтому применяем формулу для градусов. Угол 60° составляет шестую часть полного угла: 60/360 = 1/6. Значит, искомая дуга должна быть шестой частью длины всей окружности.

1. Запишем формулу: l = 2πR · α/360°.
2. Подставим данные: l = 2π · 6 · 60/360.
3. Сократим дробь 60/360 до 1/6: l = 12π · 1/6 = 2π см.

Ответ: 2π см. Это примерно 6,28 см; длина всей окружности равна 12π см, и 2π составляет её шестую часть, как и требовалось.

2. Угол задан в радианах

Найти длину дуги окружности радиуса 10 см, если центральный угол равен π/5 радиана. Угол уже выражен в радианах, поэтому переводить его в градусы не требуется. Выбираем формулу l = Rα, которая прямо связывает длину дуги, радиус и радианную меру. Подставляем значения и сохраняем единицу длины — сантиметр.

1. Запишем формулу: l = Rα.
2. Подставим R = 10 см и α = π/5: l = 10 · π/5.
3. Сократим 10/5: l = 2π см.

Ответ: 2π см. Для проверки заметим, что π/5 меньше π, то есть угол меньше 180° и дуга короче полуокружности. Половина окружности радиуса 10 см равна 10π см, поэтому найденная длина ей не противоречит.

3. Нужно найти угол

Длина дуги равна 8π см, а радиус окружности — 12 см. Нужно найти градусную меру соответствующего центрального угла. Удобно сначала воспользоваться формулой для радиан, поскольку из неё угол выражается делением длины дуги на радиус. Затем переведём полученное значение в градусы и сравним результат с 180°, чтобы проверить, что дуга меньше полуокружности.

1. Найдём радианную меру: α = l/R = 8π/12 = 2π/3.
2. Переведём радианы в градусы: α = 2π/3 · 180°/π = 120°.
3. Проверим: 120° меньше 180°, значит дуга меньше полуокружности.

Ответ: 120°. Проверка согласуется с условием о дуге меньше полуокружности. Дополнительно можно подставить угол в градусную формулу: 2π · 12 · 120/360 = 8π см.

Типичные ошибки

В формулу l = Rα иногда подставляют угол в градусах. Так происходит потому, что в задачах угол часто дан именно в градусах, но эта формула работает только с радианной мерой. Перед вычислением проверь единицы: например, если дано 60°, переведи его в π/3 радиана. Полученная длина при правильной подстановке должна совпасть с результатом по формуле для градусов.

Вместо радиуса в формулу могут подставить диаметр. Поскольку диаметр вдвое больше радиуса, ошибка удвоит и найденную длину дуги. Проверь, какая величина указана в условии, и при необходимости найди R = d/2. Можно также оценить ответ: длина дуги не должна превышать длину окружности, рассчитанную по правильному радиусу.

При работе с градусами иногда неверно составляют долю: используют 360°/α вместо α/360°. Причина в том, что путают всю окружность и её часть. Доля дуги равна углу дуги, делённому на полный угол, то есть α/360°. Для проверки убедись, что при угле 90° получается четверть окружности, а не величина больше всей окружности.

Ещё одна ошибка — не проверять, разумен ли результат. Например, дуга при угле меньше 360° не может быть длиннее всей окружности 2πR, а при угле меньше 180° она должна быть короче полуокружности πR. Ошибку могут вызвать неправильная подстановка, вычисление дроби или смешение единиц угла. Сравни ответ с длиной окружности и оцени, соответствует ли он размеру угла.

Связь с другими темами

Для вычисления длины дуги нужны формула длины окружности и представление о центральном угле и градусной мере угла. Радианная мера связывает свойства окружности с тригонометрией и понадобится при изучении тригонометрических функций. Формулы длины дуги применяют в геометрических задачах о частях окружности и круговых траекториях. Например, по радиусу и углу можно определить длину пути, пройденного по дуге.

Что запомнить

• Длина всей окружности равна 2πR.
• Дуга с углом α составляет долю α/360° от длины окружности, если α задан в градусах.
• При угле в радианах длина дуги вычисляется по формуле l = Rα.
• В формулах важно не смешивать градусную и радианную меры угла.
• При неизменном угле длина дуги прямо пропорциональна радиусу.
• Длина дуги меньше длины всей окружности для дуги с углом меньше 360°.