§ 9. Длина хорды и ее расстояние от центра окружности

Определения и обозначения

Хорда окружности — отрезок, соединяющий две точки этой окружности. Если концы хорды обозначить A и B, то сам отрезок записывают AB, а его длину — AB или l. Хорда нужна, чтобы описывать отрезки внутри окружности и сравнивать их размер; наибольшая хорда проходит через центр.

Радиус R — отрезок от центра окружности до любой её точки, а его длина также обозначается R. Расстоянием от центра до хорды называют длину перпендикуляра, проведённого из центра к прямой, на которой лежит хорда; обозначим его d. Это определение позволяет измерять, насколько хорда удалена от центра, и связывать её положение с длиной.

Перпендикуляр из центра к хорде пересекает её в середине. Если O — центр, AB — хорда, а M — основание перпендикуляра, то OM = d, AM = MB = AB/2. Благодаря этому отрезки образуют прямоугольный треугольник, в котором можно применить теорему Пифагора и находить неизвестную величину.

Как это устроено

Проведём из центра O перпендикуляр OM к хорде AB. Получатся два треугольника OMA и OMB с прямыми углами, общей стороной OM и равными гипотенузами OA и OB, поскольку обе они являются радиусами. Поэтому треугольники равны, а AM = MB: перпендикуляр делит хорду пополам не случайно, а из-за симметрии радиусов относительно него.

В прямоугольном треугольнике OMA гипотенуза равна R, один катет — d, а другой — половина хорды, l/2. По теореме Пифагора R² = d² + (l/2)². Если известны радиус и расстояние, выражаем длину хорды: l = 2√(R² − d²); если известны радиус и хорда, получаем d = √(R² − (l/2)²). Корень берут положительный, потому что длина отрезка не бывает отрицательной.

При неизменном радиусе увеличение d уменьшает величину R² − d², а значит, уменьшает и длину хорды. Поэтому самая длинная хорда проходит через центр: у неё d = 0, и формула даёт l = 2R; такая хорда называется диаметром. Чем дальше от центра расположена хорда, тем она короче.

Обратно, равные хорды одной окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это следует из формулы для d: при одинаковых R и l значение d получается одинаковым. Для разных окружностей сравнивать только расстояния или длины нельзя: нужно учитывать радиус каждой окружности.

Из формулы следует и ограничение на возможные значения: под корнем R² − d² не может быть отрицательное число, поэтому 0 ≤ d ≤ R. Также 0 ≤ l ≤ 2R. Если данные задачи нарушают эти границы, значит, допущена ошибка в вычислениях или условие составлено неверно.

Связь между величинами

Сначала выбери строку, в которой известные величины совпадают с данными задачи, затем подставь их в соответствующую формулу. Перед извлечением корня проверь, что подкоренное выражение неотрицательно. Для диаметра проще сразу использовать равенство l = 2R.

Разбор задач

Задача. Радиус окружности равен 13 см, а расстояние от её центра до хорды — 5 см. Найдите длину хорды. Сначала нужно понять, какие отрезки образуют прямоугольный треугольник: радиус — гипотенузу, расстояние до хорды и половину хорды — катеты. Значит, теорему Пифагора применяем к половине хорды, а полученную длину удваиваем.

1. Обозначим длину хорды через l. Перпендикуляр из центра делит её пополам, поэтому один катет равен l/2, второй катет равен 5 см, гипотенуза равна 13 см.

2. Запишем теорему Пифагора: 13² = 5² + (l/2)². Тогда (l/2)² = 169 − 25 = 144.

3. Извлечём положительный квадратный корень: l/2 = 12 см. Берём положительное значение, потому что рассматриваем длину отрезка.

4. Умножим обе части на 2: l = 24 см. Проверим, что хорда короче диаметра: диаметр равен 2 · 13 = 26 см, а 24 см меньше 26 см.

Ответ: длина хорды равна 24 см. Проверка по формуле для расстояния даёт d = √(13² − 12²) = √25 = 5 см, то есть исходное условие выполняется. Такой способ проверки помогает заметить ошибку, если перепутаны половина хорды и вся хорда.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что расстояние от центра до хорды — это наклонный отрезок к её концу. Его допускают, потому что расстоянием иногда называют просто путь между двумя точками. Проверяй, что выбранный отрезок перпендикулярен хорде: только он является расстоянием от точки до прямой.

Ошибка: подставлять в теорему Пифагора всю длину хорды вместо половины. Так бывает, если забыть, что перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Обозначь основание перпендикуляра буквой M и запиши AM = AB/2 до составления уравнения.

Ошибка: забывать удвоить найденную половину хорды или брать отрицательный корень. Первое происходит из-за того, что вычисления ведутся только для одного прямоугольного треугольника; второе — из-за механического решения уравнения. В конце проверь смысл результата: длина должна быть положительной, а хорда не может быть длиннее диаметра 2R.

Ошибка: считать, что хорда может находиться от центра дальше, чем радиус. Это противоречит прямоугольному треугольнику, где расстояние d — катет, а R — гипотенуза. Проверь неравенство d ≤ R и убедись, что под корнем в формуле не получилось отрицательное число.

Связь с другими темами

Зависимость длины хорды от расстояния до центра выводится из теоремы Пифагора: перпендикуляр и половина хорды — катеты, радиус — гипотенуза. Поэтому умение распознавать прямоугольные треугольники напрямую помогает решать такие задачи. Свойство перпендикуляра, делящего хорду пополам, связано с равенством треугольников и симметрией окружности. Понятия радиуса, хорды и диаметра используются также при изучении окружностей и геометрических построений.

Что запомнить

• Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам.
• Для радиуса R, расстояния d и длины хорды l выполняется R² = d² + (l/2)².
• Длина хорды: l = 2√(R² − d²); расстояние до хорды: d = √(R² − (l/2)²).
• Наибольшая хорда — диаметр длиной 2R; большая хорда расположена ближе к центру.
• Проверяй, что 0 ≤ d ≤ R и 0 ≤ l ≤ 2R, а найденная длина положительна.