1.4. О понятии вектора

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например AB. Такое обозначение сохраняет порядок точек: первая буква указывает, откуда начинается движение, а вторая — куда оно направлено. Поэтому одного обычного отрезка, у которого нет выделенного направления, для описания перемещения недостаточно.

Вектор — направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до параллельного переноса. Его обозначают, например, AB или одной маленькой буквой со стрелкой — a. Это означает, что важны направление и длина, а конкретное место расположения отрезка несущественно. Так можно описывать одно и то же перемещение разными отрезками.

Длина вектора — длина соответствующего направленного отрезка; её записывают как |AB| или |a|. Длина показывает, насколько велико перемещение, и не зависит от того, где именно нарисован задающий вектор отрезок. Например, если отрезок AB имеет длину 5 см, то длина вектора AB равна 5 см.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают; его обозначают 0. Его длина равна нулю, поскольку между совпадающими точками нет отрезка ненулевой длины. Такое обозначение нужно, чтобы учитывать отсутствие перемещения наравне с другими векторами.

Как это устроено

Чтобы задать направленный отрезок, недостаточно назвать его длину: отрезки одинаковой длины могут быть направлены в разные стороны. Поэтому отмечают начало и конец, а порядок букв показывает направление от первой точки ко второй. К примеру, AB и BA соединяют одни и те же точки, но задают противоположные направления. Именно сочетание длины и направления позволяет описать перемещение однозначно.

Вектор можно параллельно переносить, потому что при таком переносе не меняется ни длина отрезка, ни направление от начала к концу. Меняется только место, где он нарисован. Значит, перенос не меняет свойства, которыми определяется вектор, и полученный направленный отрезок задаёт тот же вектор. Это удобно, когда нужно сравнить перемещения из разных точек или совместить векторы для дальнейших построений.

Два направленных отрезка задают равные векторы, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Сонаправленными называют векторы, которые направлены в одну сторону вдоль параллельных прямых; они не обязаны лежать на одной прямой. Оба условия нужны одновременно: равная длина без совпадения направления не даёт равенства векторов. Например, стрелки вправо длиной 3 см задают равные векторы, даже если нарисованы в разных частях листа.

Длину вектора находят по длине любого направленного отрезка, который задаёт этот вектор. Если один такой отрезок перенести параллельно, его длина сохранится; равные векторы, в свою очередь, имеют одинаковую длину. Поэтому выбор места для изображения не влияет на результат. Для проверки можно измерить удобный задающий отрезок или, если вектор изображён на клетчатой бумаге, определить длину по его перемещению между клетками.

Особый случай возникает, когда начало направленного отрезка совпадает с концом. Тогда отрезок не показывает, в какую сторону направлено движение, поэтому направление нулевого вектора не определяется. Расстояние между совпадающими точками равно нулю, значит, длина такого вектора также равна нулю. Нулевой вектор при этом остаётся вектором и обозначается отдельно, символом 0.

Основные понятия о векторах

Сначала определите, о чём говорится: о конкретном отрезке с концами или о векторе, который можно перенести. Затем при сравнении векторов проверяйте сразу две характеристики — длину и направление. Строка о нулевом векторе помогает не приписывать ему направление, которого у него нет.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён направленный отрезок AB. Назовите его начало и конец. Чтобы не перепутать точки, нужно прочитать обозначение слева направо, а не ориентироваться на то, где они расположены на рисунке. Стрелка над буквами показывает направление от первой точки ко второй.

1. Запись начинается с буквы A, значит, отрезок начинается в точке A.
2. После A стоит буква B, поэтому отрезок заканчивается в точке B.
3. Проверяем порядок: направление записи идёт от A к B, а не от B к A.

Ответ: начало — A, конец — B. Если поменять буквы местами, получится направленный отрезок BA с противоположным направлением. Поэтому запись букв важно проверять даже тогда, когда на рисунке видны те же две точки.

Задача 2. Даны два направленных отрезка одинаковой длины, параллельных одной прямой, но направленных в противоположные стороны. Равны ли задаваемые ими векторы? Здесь условие о длине уже выполнено, однако равенство требует ещё и одинакового направления. Сравним обе характеристики по отдельности.

1. По условию длины направленных отрезков совпадают.
2. Смотрим на стрелки: они направлены в противоположные стороны, а не сонаправлены.
3. Поскольку одно из обязательных условий равенства не выполнено, равными векторы не являются.

Ответ: нет, эти векторы не равны. В частности, равные длины сами по себе не означают равенства векторов. Направленные в разные стороны отрезки одинаковой длины задают противоположные по направлению векторы.

Задача 3. На клетчатой бумаге изображены AB и CD. Нужно установить, равны ли они, и указать длину в единицах сетки. Для конкретного ответа нужны положения точек на рисунке, поэтому рассмотрим способ, который применяют к любому такому изображению. Он позволяет сравнить перемещения, не обращая внимания на то, где именно начинаются стрелки.

1. Для каждой стрелки посчитайте перемещение от начала к концу по горизонтали и вертикали, сохраняя направление: например, вправо — одно значение, влево — противоположное.
2. Если оба перемещения у AB и CD совпали, векторы равны; если хотя бы одно различается, они не равны. Так проверяются одновременно длина и направление.
3. Длину найдите по клеткам: при горизонтальном или вертикальном векторе она равна числу клеток. Для наклонного вектора с перемещениями m и n примените теорему Пифагора: длина равна √(m² + n²) единиц сетки.

Ответ зависит от координат концов, показанных на рисунке: без них нельзя назвать конкретную длину или решить, равны ли AB и CD. Например, перемещения на 3 клетки вправо и 2 вверх задают вектор длины √13 единиц сетки. Тот же набор перемещений у второй стрелки означает, что векторы равны, даже если стрелки нарисованы в разных местах.

Типичные ошибки

Ошибка: считать равными любые векторы одинаковой длины. Её допускают, потому что замечают измеряемую часть вектора, но забывают о направлении. Проверьте стрелки: они должны быть сонаправлены, а не смотреть в разные стороны.

Ошибка: думать, что равные векторы обязательно имеют общее начало или лежат на одной прямой. Так кажется, если принять рисунок за единственный способ задать вектор. Проверьте, можно ли совместить стрелки параллельным переносом без изменения длины и направления; если да, их расположение не мешает равенству.

Ошибка: путать направленный отрезок с вектором. У отрезка AB фиксированы конкретные концы, а вектор можно задать разными равными отрезками; смешение возникает из-за того, что оба часто обозначают одними буквами. Спросите себя, требуется ли назвать точки на рисунке или описать перемещение независимо от места.

Ошибка: менять местами начало и конец при чтении обозначения. Это происходит, если смотреть только на сами точки и не учитывать порядок букв. Проверьте запись: в AB начало — A, конец — B, тогда как BA направлен наоборот.

Связь с другими темами

Для работы с векторами пригодятся знания об отрезке, его концах и длине, а также умение определять параллельность и направление. Эти понятия позволяют описывать перемещение, не привязывая его к конкретному месту на плоскости. Позже векторы складывают и вычитают, умножают на число и используют в задачах на координаты. Они также помогают описывать перемещения при изучении геометрических преобразований.

Что запомнить

• Вектор задаётся направлением и длиной.
• Порядок букв показывает начало и конец направленного отрезка.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и сонаправлены.
• Равные векторы могут быть расположены в разных местах плоскости.
• Длина вектора не зависит от того, каким направленным отрезком он задан.
• Длина нулевого вектора равна нулю.