51. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — угол от 0° до 180°, который получают, совмещая начала векторов и сохраняя их направления. Он показывает, насколько направления векторов отличаются друг от друга. Именно этот угол используют в формуле скалярного произведения, поэтому важно не подменять его каким-либо другим углом на чертеже.

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: a · b = |a| |b| cos φ. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а φ — угол между ними. Такое определение позволяет учитывать сразу и размер векторов, и взаимное направление; результатом при этом остаётся число.

Скалярное произведение в координатах для векторов a = (x₁, y₁) и b = (x₂, y₂) равно x₁x₂ + y₁y₂. Это правило удобно, когда известны координаты, но длины и угол искать отдельно не нужно. Каждая координата одного вектора умножается на соответствующую координату другого, после чего произведения складываются.

Перпендикулярные векторы — ненулевые векторы, угол между которыми равен 90°. Их скалярное произведение равно нулю, поскольку cos 90° = 0. Это позволяет проверять перпендикулярность вычислением, не строя чертёж и не измеряя угол.

Как это устроено

В геометрической формуле участвуют длины и косинус угла, поэтому её результат — число: длины являются числами, как и значение косинуса. При этом косинус меняет знак в зависимости от направления векторов относительно друг друга. Так скалярное произведение превращает геометрическую информацию о двух векторах в величину, которую можно сравнивать и вычислять.

Чтобы получить координатную формулу, разложим векторы по двум взаимно перпендикулярным единичным осям: a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂). Единичные векторы вдоль осей имеют длину 1, а их скалярное произведение равно нулю, потому что оси перпендикулярны. При раскрытии произведения суммы остаются только слагаемые x₁x₂ и y₁y₂, а смешанные слагаемые исчезают; поэтому a · b = x₁x₂ + y₁y₂.

Из определения следует переместительность: a · b = b · a, поскольку произведение длин и косинус угла не меняются при перестановке векторов. Если один вектор умножить на число k, его длина изменится в |k| раз, а при отрицательном k направление станет противоположным; в итоге множитель выносится: (ka) · b = k(a · b). Распределительность по сложению также согласуется с координатной формулой: при сложении соответствующие координаты складываются, и после раскрытия скобок получаем (a + b) · c = a · c + b · c.

Знак произведения объясняется поведением косинуса на углах от 0° до 180°. Для острого угла косинус положителен, для прямого равен нулю, а для тупого отрицателен. Длины ненулевых векторов положительны, поэтому на знак скалярного произведения влияет именно косинус угла.

Если известны длины и скалярное произведение, формулу можно преобразовать: cos φ = (a · b) / (|a| |b|). Найдя это значение, можно определить угол, если он требуется. Для проверки перпендикулярности достаточно вычислить произведение: оно должно быть равно нулю, но этот вывод верен только для ненулевых векторов.

Скалярное произведение: определение, формулы и применение

Сначала выберите строку по тем данным, которые известны: длинам и углу соответствует геометрическая формула, координатам — координатная. Если нужно установить вид угла, достаточно вычислить знак произведения; для точного угла найдите косинус и затем сам угол. Проверяя перпендикулярность, убедитесь, что оба вектора ненулевые.

Разбор задач

Задача 1. Даны два вектора длиной 5 и 3; угол между ними равен 60°. Найдём скалярное произведение. Из условия уже известны все величины для геометрического определения, поэтому переводить векторы в координаты не требуется.

1. Запишем формулу: a · b = |a| |b| cos φ.
2. Подставим длины и угол: a · b = 5 · 3 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получим 15 · ½ = 7,5.

Ответ: 7,5.

Задача 2. Даны векторы a = (2, −1) и b = (1, 2). Требуется определить, перпендикулярны ли они. По координатам можно сразу вычислить произведение, а нулевой результат проверить по критерию перпендикулярности ненулевых векторов.

1. Используем формулу a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Подставим координаты с их знаками: a · b = 2 · 1 + (−1) · 2 = 2 − 2 = 0.
3. Оба вектора ненулевые, поэтому нулевое скалярное произведение означает, что угол между ними прямой.

Ответ: векторы перпендикулярны.

Задача 3. Даны векторы a = (1, 2) и b = (3, 1). Найдём косинус угла между ними и определим вид угла. Сначала вычислим произведение, затем длины: это нужно, чтобы подставить все величины в формулу для косинуса.

1. Скалярное произведение равно a · b = 1 · 3 + 2 · 1 = 5.
2. Длины векторов: |a| = √(1² + 2²) = √5, |b| = √(3² + 1²) = √10.
3. Тогда cos φ = 5 / (√5 · √10) = 1/√2 = √2/2, поэтому φ = 45°.
4. Произведение положительно, что дополнительно подтверждает: угол острый.

Ответ: cos φ = √2/2, угол острый и равен 45°.

Типичные ошибки

Путают скалярное и векторное произведения. Можно ожидать, что операция над двумя векторами снова даст вектор, но скалярное произведение по определению является числом. Ошибка возникает из-за общего слова «произведение» в названиях разных операций. Проверка проста: результат вычисления по формулам a · b = |a| |b| cos φ или x₁x₂ + y₁y₂ должен быть числом.

Забывают косинус или берут не тот угол. Тогда в вычислении остаётся только произведение длин, которое подходит лишь для угла 0°. Ошибка часто появляется, если на чертеже используют угол, не образованный направлениями векторов после совмещения их начал. Перед подстановкой проверьте, что угол лежит от 0° до 180° и относится именно к данным векторам.

Неправильно перемножают координаты. Нужно умножить первые координаты друг на друга и вторые — друг на друга, сохранив знаки, а потом сложить результаты. Отрицательную координату нередко теряют при умножении или ошибочно меняют знак суммы. Записывайте подстановку в скобках, например (−1) · 2, и проверяйте каждое произведение отдельно.

Считают, что нулевое произведение всегда означает перпендикулярность. Нулевой вектор имеет нулевое скалярное произведение с любым вектором, но угол между ним и другим вектором не определён. Заблуждение возникает, если не заметить условие о ненулевых векторах в критерии. Сначала проверьте, что длины обоих векторов не равны нулю, и только затем делайте вывод о перпендикулярности.

Связь с другими темами

Для изучения скалярного произведения нужны понятия длины и координат вектора, а также правила сложения векторов. Теорема о косинусах помогает понимать связь между сторонами треугольника и углом, которая лежит в основе геометрической формулы. Поэтому полезно уверенно находить длины и работать с координатами до решения задач на скалярное произведение.

Скалярное произведение применяют, чтобы вычислять углы между векторами и проверять перпендикулярность. Если направления прямых заданы векторами, тем же способом можно установить, перпендикулярны ли прямые. Координатный метод переносит эти вычисления в стереометрию: он помогает решать задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Скалярное произведение — число.
• a · b = |a| |b| cos φ.
• В координатах: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
• Для ненулевых векторов a · b = 0 тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.
• Положительное произведение соответствует острому углу, отрицательное — тупому.
• a · b = b · a.