"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Уравнение окружности или прямой связывает координаты всех точек этой фигуры. Благодаря уравнению можно описать фигуру числами, найти её положение на координатной плоскости и проверить, лежит ли на ней заданная точка. Для окружности уравнение зависит от координат центра и радиуса, а для прямой — от коэффициентов, которые задают её направление и положение. Главный приём проверки прост: подставить координаты точки и проверить равенство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел (x; y), указывающая её положение относительно двух осей. Сначала находят положение по горизонтальной оси x, затем — по вертикальной оси y. Например, точка (2; −1) находится на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз от начала координат. Координаты нужны, чтобы описывать точки числами и записывать уравнения фигур.
Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки окружности. Если координаты точки подставить вместо переменных, равенство получится верным. Например, уравнение x² + y² = 9 описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 3. По такому уравнению можно проверять точки и узнавать, где расположена окружность.
Уравнение прямой — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек этой прямой. Один из распространённых видов записи — y = kx + b: число k задаёт наклон прямой, а b показывает, где она пересекает ось y. В общем виде уравнение можно записать как Ax + By + C = 0. Коэффициенты помогают задать положение прямой и проверить принадлежность ей точки.
Центр окружности обозначают точкой O(a; b), а её радиус — буквой R. Центр — точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек окружности, а радиус — это такое расстояние. В уравнении (x − a)² + (y − b)² = R² координаты центра стоят в скобках, а квадрат радиуса — справа. Эти обозначения позволяют восстановить геометрические данные по формуле.
Окружность состоит из точек, расстояние от которых до её центра одинаково. Если центр имеет координаты (a; b), а выбранная точка окружности — (x; y), то их горизонтальное смещение равно x − a, а вертикальное — y − b. По теореме Пифагора квадрат расстояния между точками равен сумме квадратов этих смещений. Так как расстояние должно быть равно R, получаем (x − a)² + (y − b)² = R².
Формула расстояния между точками (x₁; y₁) и (x₂; y₂) имеет вид √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Для центра в начале координат (0; 0) расстояние до точки (x; y) равно √(x² + y²). По определению окружности это расстояние равно R, то есть √(x² + y²) = R. Возведём обе части в квадрат и получим уравнение x² + y² = R².
Если центр переместить из начала координат в точку (a; b), расстояние до точки окружности нужно считать уже не от нуля, а от новых координат центра. Поэтому вместо x и y в формуле появляются разности x − a и y − b. Радиус при таком перемещении не меняется, значит, справа остаётся R². Получаем (x − a)² + (y − b)² = R², где a и b задают центр, а R — радиус.
У прямой координаты связаны линейно: при изменении x значение y меняется по постоянному правилу. Например, в записи y = kx + b коэффициент k задаёт наклон, а b — значение y при x = 0. Чтобы получить уравнение прямой через две точки, ищут такое правило, которому удовлетворяют обе пары координат. Например, если точки (1; 2) и (3; 6), то обеим подходит зависимость y = 2x; одной точки было бы недостаточно, потому что через неё можно провести разные прямые.
Проверить принадлежность точки фигуре можно подстановкой её координат в уравнение. Для окружности вычисляют обе части равенства, а для прямой проверяют, выполняется ли линейное равенство. Если равенство верно, точка лежит на фигуре; если нет — не лежит. Например, точка (2; 2) удовлетворяет уравнению y = x, поскольку после подстановки получается 2 = 2.
На графике видно, что точки окружности x² + y² = 9 находятся на расстоянии 3 от начала координат, а точки прямой y = x имеют равные координаты. Каждая точка графика соответствует решению своего уравнения. Пересечения графиков показывают точки, координаты которых подходят сразу к обоим уравнениям.
| Что сравниваем | Окружность | Прямая |
|---|---|---|
| Общий вид уравнения | (x − a)² + (y − b)² = R² | Ax + By + C = 0 |
| Геометрические данные, задаваемые уравнением | Центр (a; b) и радиус R | Положение и направление прямой |
| Как проверить, лежит ли точка на фигуре | Подставить координаты и проверить равенство | Подставить координаты и проверить равенство |
| Как определить фигуру по уравнению | Квадраты разностей координат связаны с квадратом радиуса | Координаты связаны линейным равенством |
Сначала определи, какое уравнение дано: квадратные выражения указывают на окружность, а линейная связь координат — на прямую. Затем найди геометрические данные, которые можно прочитать из формулы. Для проверки точки подставь её координаты и вычисли обе части равенства.
Запишем уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 4. Для такого центра действует формула x² + y² = R². Радиус нужно возвести в квадрат, поэтому справа будет не 4, а 16. Получаем ответ:
Ответ: x² + y² = 16. Проверить смысл записи можно по точке (4; 0): её расстояние от начала координат равно 4, и подстановка даёт 4² + 0² = 16. Значит, эта точка лежит на окружности.
Найдём уравнение окружности с центром (2; −1) и радиусом 3, а затем проверим точку (2; 2). В формуле координаты центра вычитаются из координат текущей точки. После этого отдельно подставим координаты проверяемой точки. Равенство покажет, лежит ли она на окружности.
Ответ: уравнение — (x − 2)² + (y + 1)² = 9; точка (2; 2) лежит на окружности. Это можно проверить и геометрически: у точки и центра одинаковая координата x, а по вертикали они отличаются на 3. Следовательно, расстояние до центра равно радиусу.
Составим уравнение прямой через A(1; 2) и B(3; 6) и проверим точку C(2; 4). Сначала ищем зависимость между координатами, подходящую сразу обеим заданным точкам. Здесь при увеличении x в 2 раза увеличивается и y, поэтому подходит правило y = 2x. Подстановка координат C позволит проверить это правило.
Ответ: уравнение прямой — y = 2x; точка C(2; 4) принадлежит ей. Мы использовали обе заданные точки, а не подобрали правило только по одной. Это важно: разные прямые могут проходить через одну и ту же точку.
Можно перепутать координаты центра и радиус, потому что все эти числа входят в одну формулу. Но координаты центра находятся в скобках при x и y, а квадрат радиуса стоит справа. Для самопроверки сравни уравнение с образцом (x − a)² + (y − b)² = R² и отдельно назови центр и радиус.
Ещё одна ошибка — забыть возвести радиус в квадрат или неверно раскрыть квадрат разности. Например, при радиусе 4 справа должно стоять 16, а (x − 2)² раскрывается как x² − 4x + 4. Проверяй подстановкой простого значения: квадрат любого числа неотрицателен, а R² при ненулевом радиусе положителен.
Иногда точку считают принадлежащей фигуре, если после вычислений получились «почти одинаковые» числа. Для уравнения требуется точное равенство, а округление может скрыть ошибку или создать ложное совпадение. Пересчитай выражения без округления и сравни итоговые значения точно.
При составлении уравнения прямой бывает, что учитывают координаты только одной заданной точки. Так можно получить прямую, проходящую через неё, но не обязательно через остальные заданные точки. Подставь координаты каждой известной точки в готовое уравнение: если хотя бы для одной равенство неверно, уравнение составлено неправильно.
Перед работой с уравнениями нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и считывать их координаты. Также пригодится формула расстояния между двумя точками: именно она помогает получить уравнение окружности из её определения. Для вычислений понадобятся правила действий с квадратами и разностями.
Уравнения окружности и прямой позволяют решать задачи о фигурах с помощью координат и вычислений. Например, можно выяснять, принадлежит ли точка фигуре или где пересекаются графики. Такие способы станут основой для дальнейшего изучения аналитической геометрии.
Почему в уравнении окружности координаты вычитаются из координат центра?
Координаты точки окружности сравниваются с координатами её центра, чтобы получить горизонтальное и вертикальное расстояния между ними. Поэтому в формуле появляются разности x − a и y − b, где (a; b) — центр. После возведения разностей в квадрат их сумма равна квадрату радиуса.
Как по уравнению окружности определить её центр и радиус?
Сравни уравнение с видом (x − a)² + (y − b)² = R². Числа a и b задают центр (a; b), а радиус равен квадратному корню из числа справа. Например, в уравнении (x − 2)² + (y + 1)² = 9 центр — (2; −1), радиус — 3.
Как проверить, лежит ли заданная точка на окружности?
Подставь координаты точки вместо x и y в уравнение окружности. Если после вычислений левая часть равна правой, точка лежит на окружности; если равенства нет — не лежит. Проверка должна быть точной, а не приблизительной.
Можно ли составить уравнение прямой, если известна только одна точка?
Нет, одной точки недостаточно: через неё можно провести много разных прямых. Нужны дополнительные сведения, например вторая точка или направление прямой. Тогда можно определить, какая именно прямая требуется.
Чем уравнение окружности отличается от уравнения прямой?
Уравнение окружности содержит квадраты разностей координат и задаёт точки на одинаковом расстоянии от центра. Уравнение прямой связывает координаты линейно, например равенством y = kx + b. Поэтому по виду уравнения можно понять, какую фигуру оно описывает.
§ 3. Уравнения окружности и прямой
