§ 30. Сложение векторов

Определения и обозначения

Сумма векторов — это вектор, полученный при последовательном откладывании слагаемых. Для двух векторов a и b сумму записывают так: a + b. Такой объект показывает общий результат нескольких перемещений, поэтому вместо двух последовательных действий можно рассматривать одно итоговое.

Правило треугольника — способ построения суммы двух векторов: начало второго слагаемого совмещают с концом первого. Затем проводят вектор от начала первого к концу второго. Правило нужно, чтобы увидеть на чертеже итоговое перемещение после выполнения двух перемещений подряд.

Правило параллелограмма применяют, когда два вектора отложены из одного начала. Через концы векторов проводят прямые, параллельные противоположным сторонам, и получают параллелограмм; его диагональ из общего начала задаёт сумму. Этот способ удобен, когда слагаемые уже имеют общую начальную точку.

Как это устроено

Пусть даны векторы a и b. Отложим вектор b так, чтобы его начало оказалось в конце вектора a, а затем соединим начало a с концом перенесённого b. Почему этот отрезок задаёт сумму? Сначала выполняется перемещение a, затем перемещение b, поэтому один итоговый вектор должен вести из исходной точки сразу в конечную.

Результат не зависит от того, какие именно равные представители векторов выбраны. Вектор определяется длиной и направлением, а не конкретным местом на плоскости. Поэтому слагаемое можно перенести параллельно самому себе, сохранив его направление и длину, и построить сумму там, где это удобнее.

Пусть a и b имеют общее начало O. Перенесём b к концу a и проведём сумму по правилу треугольника. Через конец a проведём прямую, параллельную b, а через конец b — прямую, параллельную a; получится параллелограмм, и его диагональ от O совпадёт с построенной суммой.

Из этой конструкции видно переместительное свойство: a + b = b + a. Если сначала отложить b, а затем a, конечная точка окажется той же вершиной параллелограмма. Значит, перестановка слагаемых меняет порядок действий на чертеже, но не итоговый вектор.

Для нескольких векторов действует сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c). Сначала можно объединить первые два вектора, а потом прибавить третий, либо сначала объединить b и c. В обоих случаях последовательная ломаная начинается в одной точке и заканчивается в одной и той же точке.

Способы и свойства сложения векторов

Сначала определите расположение слагаемых, а затем выберите подходящий способ. Оба правила дают один и тот же вектор, если построены правильно. Таблица помогает быстро проверить, совпадает ли начало и конец результирующего вектора с выбранной конструкцией.

Разбор задач

Задача 1. Сумма векторов без общего начала

Условие: даны два вектора a и b, расположенные в разных местах плоскости. Нужно построить их сумму. Поскольку общего начала нет, сначала надо расположить слагаемые последовательно.

1. Оставьте вектор a на месте.
2. Перенесите вектор b параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом a.
3. Проведите вектор от начала a к концу перенесённого b.

Ответ: построенный вектор равен a + b. Перенос не изменил b, потому что сохранились его длина и направление.

Задача 2. Сумма векторов с общим началом

Условие: векторы a и b отложены из точки O. Нужно построить их сумму. В такой ситуации удобнее использовать параллелограмм, чтобы сразу увидеть обе возможные последовательности перемещений.

1. Соедините концы векторов с прямыми, параллельными противоположным сторонам.
2. Достройте параллелограмм с вершиной O.
3. Проведите диагональ из O к противоположной вершине.

Ответ: диагональ, выходящая из общего начала, изображает a + b. Она совпадает с результатом построения по правилу треугольника.

Задача 3. Сумма в четырёхугольнике

Условие: в четырёхугольнике ABCD нужно выразить вектор AC через AB и BC, а затем записать ту же сумму в обратном порядке. Точки B и C уже показывают последовательное движение от A к C.

1. По правилу треугольника запишите: AC = AB + BC.
2. Используйте переместительное свойство сложения.
3. Получите запись: AC = BC + AB.

Ответ: AC = AB + BC = BC + AB. Вектор AC направлен от A к C, независимо от порядка записи слагаемых.

Типичные ошибки

Начало второго вектора иногда ставят не в конец первого. Тогда ломаная не показывает последовательное выполнение двух перемещений, поэтому правило треугольника нарушено. Проверьте, что конец первого и начало второго совпадают.

При построении параллелограмма можно выбрать не ту диагональ. Суммой является только диагональ, выходящая из общего начала слагаемых, а не диагональ между их концами. Перед проведением линии отметьте точку, из которой начинаются оба вектора.

Некоторые складывают длины векторов как обычные числа. Это неверно, потому что направления могут совпадать, образовывать угол или быть противоположными. Проверьте не только длины, но и направление каждого слагаемого.

Перестановку слагаемых иногда принимают за изменение направления суммы. На самом деле равенство a + b = b + a означает неизменность результата, а не появление нового вектора. Сравните начальную и конечную точки в обеих конструкциях.

Связь с другими темами

До сложения векторов нужно знать, что такое начало и конец вектора, его направление и длина. Также понадобится понятие равных векторов: они имеют одинаковую длину и направление, даже если находятся в разных местах.

Сложение векторов используется при разложении одного вектора на составляющие. Оно помогает описывать перемещения и решать геометрические задачи, где общий результат получается из нескольких последовательных движений.

Что запомнить

• Сумма векторов — вектор.
• Для правила треугольника начало второго слагаемого совмещают с концом первого.
• Сумма по правилу треугольника направлена от начала первого вектора к концу второго.
• Для правила параллелограмма слагаемые откладывают из общего начала.
• Перестановка слагаемых не меняет их сумму.
• При сложении нескольких векторов можно менять группировку слагаемых.