§ 29. Понятие вектора

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец. Его изображают стрелкой и обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой сверху, например AB. Это обозначение нужно, чтобы не только назвать отрезок, но и показать, от какой точки движутся к какой.

Вектор — направленный отрезок, который рассматривают с учётом его длины и направления. Его обозначают как вектор AB или одной строчной буквой со стрелкой, например вектор a. Такое понятие позволяет сравнивать перемещения, даже если они изображены в разных местах чертежа.

Длина вектора — длина соответствующего ему отрезка. Её записывают как |AB| или |a|. По этой величине можно понять, насколько длинным является перемещение, не учитывая, в какой стороне оно направлено.

Нулевой вектор — вектор, начало которого совпадает с концом. Его длина равна нулю, а направление не определено. Это обозначение нужно для случая, когда перемещения из точки в другую нет.

Как это устроено

Обычный отрезок показывает, какие две точки соединены, и задаёт расстояние между ними. Для вектора одного расстояния недостаточно: нужно знать, в какую сторону направлено перемещение. Поэтому концы упорядочивают и ставят стрелку от начала к концу. Например, AB и BA соединяют те же точки, но описывают противоположные направления.

В записи AB первую букву читают как начало, а вторую — как конец. Стрелка над буквами напоминает, что это не просто название двух точек, а запись с направлением. Если порядок букв поменять, меняется и направление вектора. При чтении чертежа сверяй, куда указывает стрелка, а не только на какие точки она нанесена.

Направленные отрезки могут быть нарисованы в разных частях плоскости, но задавать один и тот же вектор. Это происходит, если при сравнении совпадают и их длины, и направления: сами места расположения не описывают свойства перемещения. Такие векторы называют равными. Если совпадает только длина, равенство ещё не установлено: один отрезок может быть направлен, например, вправо, а другой — влево.

Длину вектора определяют по длине отрезка, который его изображает. Перенос изображения на плоскости не растягивает и не укорачивает отрезок, поэтому длина вектора от переноса не меняется. В записи |AB| черты обозначают именно длину, а не направление. Если два вектора равны, их длины тоже равны.

У нулевого вектора начало и конец находятся в одной точке, поэтому изображающий его отрезок не имеет протяжённости. Отсюда следует, что его длина равна нулю. Направление же показывает, куда движутся от начала к отличному от него концу, а здесь такого перемещения нет. Поэтому направлять нулевой вектор нельзя.

Основные характеристики вектора

Таблица помогает отличить сам направленный отрезок от вектора и его длины. При проверке равенства смотри на две характеристики сразу: длину и направление. Для нулевого вектора отдельно отмечай, что его направление определить нельзя.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображён направленный отрезок AB. Назовите его начало и конец, укажите направление и запишите обозначение. Чтобы не перепутать точки, сначала прочитаем запись, а затем сверим её со стрелкой. В обозначении направленного отрезка порядок букв имеет значение.

1. Первая буква в записи AB — A, значит, точка A является началом.
2. Вторая буква — B, поэтому точка B является концом отрезка.
3. Стрелка направлена от начала к концу, то есть от A к B.

Ответ: начало — A, конец — B; направление от A к B; обозначение — AB. Если на рисунке стрелка оказалась бы направлена от B к A, это был бы вектор BA, а не AB. Такой порядок действий помогает прочесть вектор, даже если расположение точек на чертеже непривычное.

Задача 2

Даны два направленных отрезка AB и CD одинаковой длины, направленные одинаково. Определите, равны ли соответствующие векторы. Здесь нужно установить не совпадают ли сами отрезки на чертеже, а задают ли они одинаковые длину и направление. Для ответа последовательно проверим оба свойства.

1. По условию длины AB и CD одинаковы.
2. По условию направления отрезков также совпадают.
3. Место каждого отрезка на плоскости в критерий равенства не входит.

Ответ: векторы AB и CD равны. Оба необходимых условия выполнены одновременно. Даже если отрезки не имеют общих точек, это не меняет результата: расположение изображения не является характеристикой, по которой проверяют равенство векторов.

Задача 3

В треугольнике ABC известно, что AB = 5 см, а отрезок DE параллелен AB, равен ему по длине и направлен так же. Сравните векторы AB и DE и укажите длину каждого. Одной параллельности было бы недостаточно: параллельные отрезки могут смотреть в противоположные стороны. Но в условии дополнительно заданы равные длины и одинаковое направление.

1. Длина AB равна 5 см по условию.
2. DE равен AB по длине, значит, DE тоже имеет длину 5 см.
3. Направления AB и DE совпадают, поэтому по двум признакам векторы равны.

Ответ: векторы AB и DE равны; длина каждого — 5 см. Тот факт, что отрезки параллельны, согласуется с одинаковым направлением, заданным в условии. Равенство длин и направлений позволяет сравнить векторы, не обращая внимания на то, где находятся точки A, B, D и E.

Типичные ошибки

Можно решить, что векторы равны, если изображающие их отрезки имеют одинаковую длину. Так думают, потому что длину легко увидеть или измерить, но вектор описывает ещё и направление. Для проверки сравни два свойства: длины и направления; если направление различается, векторы не равны.

Часто путают AB и BA, принимая их за один и тот же вектор, ведь они соединяют те же точки. Однако при перестановке букв начало и конец меняются местами, поэтому меняется направление. Проверь себя: первая буква должна совпадать с точкой, от которой начинается стрелка.

Ещё одна ошибка — считать, что равные векторы обязаны лежать на одном отрезке или иметь общую точку. Такое впечатление возникает, если сравнивать только рисунки, а не свойства векторов. Сопоставь длины и направления: если они совпадают, разные места изображения равенству не мешают.

Нельзя приписывать направление нулевому вектору, даже если на рисунке пытаются нарисовать возле точки стрелку. У него начало совпадает с концом, поэтому от одной точки к другой не происходит перемещения. Проверка проста: если длина равна нулю, направление не определено.

Связь с другими темами

Перед изучением векторов нужно уметь распознавать отрезки, их концы и длины, а также понимать, что означает параллельность прямых. Эти знания помогают читать изображение и сравнивать направленные отрезки. Далее понятие вектора пригодится для изучения действий с векторами и координатного метода. Оно также помогает решать задачи на перемещение: направление показывает, куда двигались, а длина — насколько далеко.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• В записи AB точка A — начало, а B — конец.
• Длина вектора равна длине изображающего его отрезка.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и направления.
• Равные векторы могут быть изображены в разных местах плоскости.
• Длина нулевого вектора равна нулю, его направление не определено.