§ 31. Вычитание векторов

Определения и обозначения

Противоположные векторы — это векторы, равные по длине и направленные в разные стороны. Если дан вектор a, противоположный ему обозначают −a. Такое обозначение удобно, потому что оно показывает сразу и длину, и направление вектора, который нужно прибавить вместо вычитаемого.

Разность векторов a и b — это вектор, который при сложении с b даёт a; её обозначают a − b. Иначе говоря, мы ищем, какой вектор нужно добавить к b, чтобы получить a. Это определение помогает понять, почему вычитание можно выполнить через сложение.

Нулевой вектор — вектор с нулевой длиной. Он возникает, например, при вычитании равных векторов: a − a = 0. Нулевой вектор не имеет определённого направления, поэтому его нельзя считать обычным ненулевым вектором, направленным в какую-либо сторону.

Как это устроено

По определению разности, к результату a − b нужно прибавить b и получить a. Вектор, который при сложении с b взаимно уничтожает его, — это −b. Поэтому a − b = a + (−b): вычитание сводится к уже знакомому сложению векторов, а длина и направление результата учитываются по правилам сложения.

Для построения сначала откладывают вектор −b, равный b по длине, но направленный наоборот. Затем складывают его с a: при правиле треугольника начало −b совмещают с концом a, а при правиле параллелограмма оба слагаемых откладывают от одного начала. В обоих случаях диагональ, проведённая из общего начала, и есть a − b, потому что она представляет сумму a + (−b).

Если a и b отложены от общего начала O, пусть OA = a и OB = b. Чтобы перейти от конца b к концу a, нужно пройти по вектору BA; поэтому a − b = BA. Это направление согласуется с определением: прибавление OB к BA приводит из точки B в точку A, то есть BA + OB = OA.

Порядок при вычитании менять нельзя. Если разность a − b направлена от конца b к концу a, то b − a направлена в обратную сторону и имеет ту же длину. Поэтому b − a = −(a − b): перестановка уменьшаемого и вычитаемого меняет результат на противоположный вектор.

Если вычитаемый вектор равен уменьшаемому, получается a − a = 0, потому что вектор и противоположный ему взаимно уничтожаются. Если же b = −a, то a − b = a − (−a) = a + a = 2a. Здесь два одинаковых слагаемых направлены одинаково, поэтому результат сонаправлен с a и вдвое длиннее его.

Смысл и построение разности векторов

Пользуйтесь таблицей так: сначала определите, какие векторы вычитаются и какой из них уменьшаемый. Затем выберите построение — через противоположный вектор или через общее начало. В конце проверьте направление результата: при общем начале он должен идти от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Разбор задач

Задача 1. Векторы a и b сонаправлены, |a| = 7 см, |b| = 3 см. Постройте a − b. Поскольку векторы сонаправлены, сначала важно понять, что получится после замены вычитания сложением: −b направлен против a. Значит, при сложении векторов они будут лежать на одной прямой и направлены навстречу друг другу.

1. Постройте a длиной 7 см и вектор −b длиной 3 см в противоположном направлении.
2. При сложении сонаправленных отрезков, направленных в разные стороны, вычтите меньшую длину из большей: 7 − 3 = 4 см.
3. Результат направьте так же, как более длинный вектор a, поскольку его длина больше.

Ответ: a − b имеет длину 4 см и сонаправлен с a. Задача 2. Из общего начала O проведены OA = a и OB = b. Постройте a − b. Здесь можно не строить противоположный вектор отдельно: правило общего начала сразу указывает концы искомого вектора.

1. Отметьте концы A и B данных векторов с общим началом O.
2. Проведите стрелку от B к A. Она направлена от конца вычитаемого b к концу уменьшаемого a.
3. Запишите результат: BA = a − b, поскольку BA + OB = OA.

Ответ: искомый вектор — BA. Задача 3. Даны стороны треугольника ABC. Выразите вектор AB через AC и BC. Удобно пройти из A в B через вершину C: такой путь состоит из двух векторов, а направление второго нужно сверить с тем, как он обозначен в условии.

1. По правилу сложения векторов при переходе A → C → B получаем AB = AC + CB.
2. Векторы CB и BC имеют одинаковую длину, но противоположные направления, поэтому CB = −BC.
3. Замените CB в равенстве противоположным вектором: AB = AC + (−BC) = AC − BC.

Ответ: AB = AC − BC. Здесь порядок вычитания связан с направлением пути от A к B через C.

Типичные ошибки

Первая ошибка — строить a − b так же, как b − a. Так происходит, если забыть, что уменьшаемый и вычитаемый выполняют разные роли. Проверьте себя: поменяйте порядок и убедитесь, что стрелка должна развернуться, поскольку b − a = −(a − b).

Вторая ошибка — прибавить b вместо −b. Обычно это случается, когда правило «вычитание заменяется сложением» вспоминают не полностью. Перед построением отдельно измените направление b; если длина осталась той же, а направление стало противоположным, вы построили нужный −b.

Третья ошибка — при общем начале направить разность от конца a к концу b. Здесь путают, какой вектор вычитают. Чтобы проверить направление, назовите точки: для a − b начало результата находится у конца b, а конец — у конца a.

Четвёртая ошибка — считать, что разность обязательно ненулевая. Это неверно, если векторы равны: при вычитании a − a они взаимно уничтожаются. Сверьте длину и направление исходных векторов: если они совпадают, результат должен иметь нулевую длину.

Связь с другими темами

Для работы с вычитанием нужны понятия вектора, равных и противоположных векторов, а также правило сложения векторов. Если представить вычитание как сложение с противоположным вектором, построение становится продолжением уже знакомых правил сложения.

Вычитание помогает преобразовывать векторные равенства и выражать один вектор через другие. Например, при обходе треугольника можно записать AB = AC + CB, а затем заменить CB на −BC и получить AB = AC − BC. Такие преобразования связывают векторы со сторонами геометрических фигур.

Что запомнить

• a − b = a + (−b).
• Противоположные векторы равны по длине и направлены в разные стороны.
• При общем начале a − b направлен от конца b к концу a.
• a − b = −(b − a).
• Разность равных векторов — нулевой вектор.