"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Разность векторов a и b — это вектор, который нужно прибавить к b, чтобы получить a. Поэтому вычитание заменяют сложением с вектором, противоположным вычитаемому: a − b = a + (−b). Если отложить оба вектора от одной точки, разность направлена от конца b к концу a. Это правило помогает находить неизвестные векторы и решать задачи о фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность векторов a и b — это вектор c, для которого b + c = a; его записывают a − b. Иначе говоря, к вычитаемому b нужно прибавить c, чтобы получить уменьшаемый a. Такое определение позволяет находить неизвестный вектор по равенству. Оно также объясняет, почему порядок в записи имеет значение.
Вычитание векторов — операция, при которой к уменьшаемому прибавляют вектор, противоположный вычитаемому: a − b = a + (−b). Значит, чтобы выполнить вычитание, сначала заменяют знак действия и направление вектора b. Это правило переводит задачу на вычитание в уже знакомое сложение. Оно удобно и для вычислений, и для построений.
Вектор −b противоположен вектору b: у них одинаковая длина, но направления противоположны. При сложении они дают нулевой вектор: b + (−b) = 0. Поэтому противоположный вектор нужен, чтобы «отменить» прибавление b. Знак минус меняет направление, но не длину вектора.
Если векторы a и b отложены от общего начала, разность a − b — вектор от конца b к концу a. Такое построение сразу показывает направление результата. Оно помогает не перепутать порядок векторов в записи. Начало разности находится у конца вычитаемого, а конец — у конца уменьшаемого.
Равенство b + c = a выбрано потому, что разность должна восполнить недостающий переход от b к a. Если сначала выполнить перемещение b, а затем c, итогом будет a. Поэтому c и называют разностью a и b. Эта запись не просто задаёт название, а позволяет проверить найденный ответ сложением.
Из определения получается правило a − b = a + (−b). В равенстве b + c = a можно мысленно убрать b, прибавив к обеим частям противоположный вектор −b. Тогда остаётся c = a + (−b), то есть c = a − b. Поэтому при вычитании мы не прибавляем исходный b: его направление должно быть изменено на противоположное.
Для построения отложи a и b от одной точки O, получив концы A и B. Искомый вектор проведи от B к A: он обозначается BA, если начало и конец разности находятся в этих точках. Причина такого направления видна из правила треугольника: b + BA даёт вектор от O до A, то есть a. Если провести стрелку наоборот, получится b − a.
Если вычитают равные векторы, результатом будет нулевой вектор: a − a = a + (−a) = 0. Это следует из того, что противоположные векторы при сложении взаимно уничтожаются. А вычитание нулевого вектора ничего не меняет: a − 0 = a + 0 = a. Эти два случая полезны для быстрой проверки ответа.
Порядок в записи проверяют по началу и концу стрелки. В a − b начало результата находится у конца b, а конец — у конца a, потому что b + (a − b) должно дать a. Если стрелка направлена от конца a к концу b, это уже b − a. Поменять порядок нельзя: вычитание, в отличие от сложения, не является переместительным.
| Что сравниваем | Через сложение | Геометрическим построением |
|---|---|---|
| Основное правило | a − b = a + (−b) | При общих началах разность идёт от конца b к концу a |
| Как выполнить | Заменить b на противоположный вектор −b и сложить | Отложить оба вектора от одной точки и соединить их концы |
| Направление искомого вектора | Задано суммой a + (−b) | От конца вычитаемого к концу уменьшаемого |
| Особый случай: a = b | a + (−a) = 0 | Концы совпадают, получается нулевой вектор |
| Особый случай: b = 0 | a + 0 = a | Вычитаемый вектор не меняет положение конца a |
Сначала выбери способ, который подходит к условию: для преобразования выражения удобнее сложение, а для наглядного ответа — построение. При построении обязательно отметь, какой вектор вычитают. Проверить направление можно по равенству b + (a − b) = a.
Задача 1. Даны векторы a и b. Запишите выражение для их разности через сложение. Нужно заменить вычитание сложением, не меняя уменьшаемый вектор. При этом вычитаемый вектор следует развернуть.
Определяем, какой вектор вычитают: это b. Значит, в сумме вместо него должен стоять противоположный вектор −b. Длина этого вектора такая же, как у b, но направление обратное.
Записываем сложение: к a прибавляем −b. Порядок сохраняем, потому что вычитание a − b означает, что из a вычитают именно b. Перестановка векторов изменила бы задачу.
Ответ: a − b = a + (−b).
Задача 2. Из точки O отложены векторы OA = a и OB = b. Постройте a − b. Искомая стрелка должна соединить концы исходных векторов, но важно определить её направление. Проверим выбор через определение разности.
Отмечаем точки A и B — концы векторов a и b. Начала OA и OB совпадают в точке O. Поэтому можно применить правило построения разности для векторов с общим началом.
Проводим стрелку из B в A и обозначаем её BA. Теперь путь сначала по OB, а затем по BA приводит из O в A. Следовательно, b + BA = a, а по определению BA и есть a − b.
Ответ: a − b = BA.
Задача 3. В параллелограмме ABCD выразите AC через AB и AD, а затем постройте AB − AD. Векторы AB и AD имеют общее начало A, поэтому подходят для правила параллелограмма и для построения разности. Важно не перепутать порядок концов.
Диагональ AC является суммой двух сторон, выходящих из A. По правилу параллелограмма получаем AC = AB + AD. Здесь оба вектора направлены от A к соседним вершинам.
Для разности AB − AD начинаем у конца вычитаемого AD, то есть в точке D. Заканчиваем у конца уменьшаемого AB, то есть в точке B. Получаем вектор DB.
Проверяем построение: AD + DB образует путь от A через D к B, то есть вектор AB. Значит, AD + DB = AB, и по определению DB = AB − AD. Если бы провести стрелку BD, порядок в разности был бы обратным.
Ответ: AC = AB + AD; AB − AD = DB.
Первая ошибка — провести стрелку от конца a к концу b. Так получают направление b − a, а для a − b нужно идти от конца b к концу a. Путаница возникает, если смотреть только на расположение точек и забыть порядок записи. Проверь себя равенством b + (a − b) = a.
Вторая ошибка — считать, что a − b = b − a. Вычитание не переместительно, потому что изменение порядка меняет, какой вектор вычитают. При общих началах эти разности направлены в противоположные стороны. Сверь ответ с исходной записью и проверь, какой вектор должен быть первым в равенстве b + c = a.
Третья ошибка — заменить вычитание сложением, но прибавить b вместо −b. Так забывают изменить направление вычитаемого вектора, поэтому получается другое выражение. Запомни запись a − b = a + (−b) и изобрази −b противоположно b. Проверить результат можно сложением: к b должна прибавляться именно найденная разность, чтобы получить a.
Четвёртая ошибка — думать, что разность всегда короче каждого из исходных векторов. Её длина зависит и от длин векторов, и от угла между их направлениями. Ошибку вызывает перенос привычных правил числового вычитания на векторы. Проверяй длину по построению или по сложению a + (−b), а не угадывай её заранее.
Для вычитания нужно уметь складывать векторы, пользоваться нулевым и противоположным векторами и знать правило треугольника. Именно сложение показывает, почему разность дополняет вычитаемый вектор до уменьшаемого. Построение с общим началом также опирается на сложение векторов.
Вычитание помогает находить неизвестный вектор из равенства: если b + c = a, то c = a − b. Оно применяется и в задачах о фигурах, например при выражении векторов сторон и диагоналей параллелограмма. Поэтому полезно одновременно уметь преобразовать разность в сумму и изобразить её.
Почему разность векторов определяется равенством b + c = a?
Разность a − b должна показать, какого вектора не хватает к b, чтобы получить a. Поэтому для искомого вектора c записывают b + c = a. Из этого определения следует, что c = a − b.
Как построить разность двух векторов, отложенных от одной точки?
Отложи оба вектора от общего начала. Затем соедини конец вычитаемого b с концом уменьшаемого a. Стрелка должна идти именно от конца b к концу a.
Почему при вычитании вектора его нужно заменить противоположным?
Противоположный вектор имеет ту же длину, но направлен в обратную сторону. Прибавление −b отменяет действие b, поэтому вычитание можно записать как сложение: a − b = a + (−b).
Чем отличаются векторы a − b и b − a?
При общих началах a − b направлен от конца b к концу a, а b − a — от конца a к концу b. Эти векторы противоположны, если a и b отложены от одной точки. Значит, порядок при вычитании менять нельзя.
Что получится, если вычесть из вектора такой же вектор?
Получится нулевой вектор: a − a = a + (−a) = 0. Вектор и противоположный ему вектор при сложении взаимно уничтожаются.
82. Вычитание векторов
