"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сумма нескольких векторов — это вектор, который показывает общий результат их последовательного действия. Чтобы его построить, векторы переносят и располагают цепочкой: каждый следующий начинается там, где закончился предыдущий. Итог соединяет начало первого вектора с концом последнего. Такой способ называется правилом многоугольника. Он помогает находить сумму любого числа векторов, а для замкнутой цепочки сразу показывает, что сумма равна нулевому вектору.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма нескольких векторов — вектор, который получают, последовательно складывая данные векторы. Её записывают, например, так: a + b + c, где a, b и c — векторы. Эта запись означает, что мы ищем один вектор, равный общему результату сложения всех трёх.
Правило многоугольника — способ построения суммы: векторы располагают один за другим, совмещая конец каждого с началом следующего. Так цепочка может выглядеть как ломаная линия. Правило помогает перейти от сложения двух векторов к сложению любого их числа.
Вектор-сумма по правилу многоугольника — вектор, соединяющий начало первого отложенного вектора с концом последнего. Он показывает общий результат движения по всей цепочке, а не отдельный её шаг. Поэтому промежуточные вершины не становятся концами суммы.
Нулевой вектор — вектор с совпадающими началом и концом, его длина равна нулю. В цепочке он не меняет сумму: если его добавить, конечная точка не сдвинется. Если же совпали начало всей цепочки и конец последнего вектора, то сумма цепочки — нулевой вектор.
Чтобы сложить три вектора, сначала отложи первый из выбранной точки. Затем перенеси второй так, чтобы его начало оказалось на конце первого, а третий — так, чтобы его начало совпало с концом второго. Теперь соедини начало первого с концом третьего и направь стрелку к конечной точке. Этот вектор показывает итог всего последовательного перемещения.
При большем числе слагаемых действует та же идея: каждый новый вектор продолжает уже построенную цепочку. После последнего шага есть одна начальная точка и одна конечная, поэтому их соединяющий вектор выражает общий результат. Число промежуточных звеньев не меняет способа построения: нужно лишь аккуратно продолжать цепь.
Векторы при сложении можно переносить параллельно самим себе. Такой перенос сохраняет их длину и направление, а значит, сам вектор остаётся тем же, хотя его начало оказывается в другом месте. Поэтому цепочку можно расположить там, где удобно для чертежа: сумма всё равно соединит начальную и конечную точки построенной цепи.
Порядок векторов можно менять, если каждый раз заново выстроить цепочку из тех же слагаемых: при сложении векторов итог не зависит от их порядка. Можно менять и группировку: сначала найти сумму части цепочки, а затем прибавить остальные векторы. На построении это означает, что участок заменяют соединяющим его начало и конец вектором; крайние точки всей цепи остаются теми же.
В замкнутой цепочке конец последнего вектора совпадает с началом первого. Движение по всем звеньям возвращает нас в исходную точку, поэтому итоговый вектор должен соединять точку саму с собой. Такой вектор нулевой, значит, сумма векторов замкнутой цепочки равна нулевому вектору.
| Сколько векторов складывают | Как расположить векторы | Как построить сумму |
|---|---|---|
| Два | Второй вектор отложить от конца первого | Соединить начало первого с концом второго |
| Три | Второй и третий последовательно отложить от концов предыдущих | Соединить начало первого с концом третьего |
| Несколько | Каждый следующий вектор отложить от конца предыдущего | Соединить начало первого с концом последнего |
| Цепочка замкнута | Конец последнего вектора совпадает с началом первого | Сумма — нулевой вектор |
Сначала найди в таблице нужное число слагаемых и расположи их в указанном порядке: конец к началу. Затем проведи вектор-сумму по крайним точкам цепочки. Если цепочка вернулась в исходную точку, результат сразу равен нулевому вектору.
Отложи вектор a от выбранной точки A. Его конец обозначь B, чтобы видеть начало следующего звена. Так задан первый шаг цепочки.
Перенеси вектор b параллельно самому себе и совмести его начало с B. Затем отложи c от конца перенесённого b. Перенос нужен, чтобы векторы продолжали друг друга, не меняя своих направлений и длин.
Обозначь конец c точкой D и проведи вектор из A в D. Он направлен от начала первого вектора к концу третьего и соединяет крайние точки всей цепочки. Значит, именно он является суммой a + b + c.
Ответ: вектор, направленный от начала a к концу c после последовательного откладывания.
Посмотри на конец каждого вектора: AB заканчивается в B, BC начинается в B и заканчивается в C, а CD начинается в C. Значит, три вектора уже составляют последовательную цепочку A–B–C–D.
По правилу многоугольника сумма соединяет начало первого звена с концом последнего. Начальная точка здесь A, конечная — D. Промежуточные точки B и C задают путь, но не являются концами суммы.
Запиши вектор от A к D. Направление важно: если провести его от D к A, получится противоположный вектор. Следовательно, исходную сумму можно заменить одним вектором AD.
Ответ: AB + BC + CD = AD.
Отложи векторы один за другим: b начинается в конце a, а c — в конце b. По условию конец c совпадает с началом a, поэтому цепочка возвращается в исходную точку.
Сумма по правилу многоугольника соединяет начало первого и конец последнего вектора. В этой задаче обе точки совпадают, значит, соединяющий их вектор имеет нулевую длину.
Вектор с нулевой длиной и совпадающими началом и концом называется нулевым. Поэтому сумма всей замкнутой цепочки — нулевой вектор, независимо от формы её звеньев.
Ответ: a + b + c — нулевой вектор.
Иногда следующий вектор откладывают от начала предыдущего, а не от его конца. Так часто делают, потому что привыкли прикладывать все векторы к одной точке, но для правила многоугольника нужна цепочка. Проверь чертёж: конец каждого звена должен совпадать с началом следующего.
Можно соединить крайние точки не в том направлении — от конца последнего к началу первого. Тогда получится вектор, противоположный сумме, потому что у него те же концы, но направление обратное. Перед ответом отметь начало первого звена и конец последнего и поставь стрелку от первого ко второму.
Ещё одна ошибка — считать, что векторы обязательно нужно оставить приложенными к одной точке. Так кажется, если помнить только построение суммы двух векторов, но для длинной цепочки векторы переносят параллельно. Убедись, что при переносе не изменились ни длина, ни направление каждого вектора.
При замкнутой цепочке иногда записывают ненулевую сумму, ориентируясь на отдельные звенья. Однако итог зависит не от длины пути, а от начальной и конечной точек: здесь они совпадают. Проведи вектор-сумму между ними — если точки совпали, это нулевой вектор.
Для построения суммы нужно уметь откладывать вектор от заданной точки. Также важно научиться параллельно переносить его, сохраняя длину и направление: так начало вектора можно совместить с концом предыдущего звена.
Правило многоугольника развивает уже знакомое сложение двух векторов по правилу треугольника. Когда слагаемых два, цепочка состоит из двух звеньев; когда их больше, к ней добавляются новые звенья.
Этот способ пригодится в геометрических задачах на векторы и при разложении вектора на составляющие. Несколько последовательных перемещений можно заменить одним вектором-суммой, а затем сравнивать или находить нужные векторы.
Как построить сумму трёх или более векторов?
Перенеси первый вектор в нужное место, затем отложи второй от его конца, третий — от конца второго и так далее. Соедини начало первого вектора с концом последнего: это и будет сумма.
В каком направлении откладывать итоговый вектор?
Итоговый вектор направлен от начала первого отложенного вектора к концу последнего. Если поменять направление соединения, получится вектор, противоположный сумме.
Можно ли переносить векторы при построении суммы?
Да. Вектор можно параллельно перенести, сохранив его длину и направление. Поэтому его начало можно совместить с концом предыдущего вектора.
Что означает замкнутая цепочка векторов?
Это цепочка, в которой конец последнего вектора совпадает с началом первого. После последовательного движения вдоль всех векторов мы возвращаемся в исходную точку.
Почему сумма векторов замкнутой цепочки равна нулевому вектору?
Вектор-сумма соединяет начальную и конечную точки цепочки, а в замкнутой цепочке они совпадают. Вектор с совпадающими началом и концом — нулевой, поэтому сумма равна нулю.
81. Сумма нескольких векторов
