"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Умножение вектора на число создаёт новый вектор: его длина зависит от модуля числа, а направление — от его знака. Положительный множитель сохраняет направление, отрицательный разворачивает вектор, а нулевой даёт нулевой вектор. Это действие помогает сравнивать коллинеарные векторы, записывать отношения между ними и находить решения геометрических задач. Например, с его помощью удобно доказывать свойства отрезков в треугольнике.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножением вектора a на число λ называют действие, результат которого обозначают λa. Если λ не равно нулю, длина нового вектора равна |λ|·|a|: например, при множителе 2 длина удваивается, а при ½ уменьшается вдвое. При положительном λ направление сохраняется, при отрицательном меняется на противоположное, а при λ = 0 получается нулевой вектор. Это действие нужно, чтобы изменять длину вектора, не меняя его прямую, и удобно записывать отношения между отрезками.
Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы могут быть сонаправленными, то есть смотреть в одну сторону, или противоположно направленными. Само слово «коллинеарные» указывает, что векторы можно расположить вдоль одной прямой. Это понятие помогает определить, можно ли получить один вектор умножением другого на число.
Если два вектора коллинеарны и один из них ненулевой, второй можно представить как произведение первого на некоторое число λ. Это число называют коэффициентом пропорциональности: оно показывает, во сколько раз различаются длины и совпадают ли направления. При одинаковом направлении коэффициент положительный, при противоположном — отрицательный. Такая запись заменяет сравнение двух векторов одним числом и упрощает дальнейшие вычисления.
Число λ задаёт, во сколько раз нужно изменить длину вектора. Если взять, например, λ = 3, новый вектор будет втрое длиннее исходного; при λ = ½ он станет вдвое короче. Длина измеряется расстоянием, поэтому она не бывает отрицательной. По этой причине формула содержит модуль числа: |λa| = |λ|·|a|.
Знак множителя определяет, в какую сторону отложить получившийся вектор. Положительное число означает, что вектор продолжается в прежнем направлении, а отрицательное — что его нужно отложить в обратную сторону. Модуль множителя при этом по-прежнему отвечает только за длину. Если множитель равен нулю, длина результата равна нулю независимо от исходного вектора, поэтому получается нулевой вектор.
Почему у коллинеарных векторов можно найти коэффициент λ? У ненулевого вектора a есть определённая длина, и длину второго вектора можно разделить на неё: так находится модуль коэффициента. Затем сравнивают направления: если они совпадают, коэффициент берут положительным, а если противоположны — отрицательным. Поэтому второй вектор записывается как λa; если он нулевой, подходит λ = 0. У неколлинеарных векторов такого числа нет: умножение сохраняет прямую, на которой лежит исходный вектор.
Умножение согласуется со сложением векторов: λ(a + b) = λa + λb. Это значит, что можно сначала сложить векторы и умножить сумму или сначала умножить каждый вектор, а затем сложить результаты. Есть и распределительность относительно сложения чисел: (λ + μ)a = λa + μa. Эти правила полезны, когда выражение содержит сразу несколько векторов или множителей.
Можно последовательно умножить вектор сначала на μ, а результат — на λ: получится тот же вектор, что при умножении сразу на произведение чисел, то есть λ(μa) = (λμ)a. Умножение на 1 ничего не меняет: 1a = a, потому что длина и направление остаются прежними. В геометрических доказательствах сначала выражают нужные векторы через известные, а затем используют эти свойства. Так, равенства для двух частей отрезка можно преобразовать в равенство векторов, связывающих стороны треугольника.
| Условие | Длина λa | Направление λa |
|---|---|---|
| λ > 0 | λ·|a| | Сонаправлен с a |
| λ < 0 | |λ|·|a| | Противоположно направлению a |
| λ = 0 | 0 | Нулевой вектор не имеет направления |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите знак множителя и найдите его модуль. По модулю вычислите длину результата, а по знаку установите, сохраняется ли направление. В строке λ = 0 длина равна нулю, поэтому говорить о направлении получившегося вектора нельзя.
Задача 1. Дан вектор a длины 3 см. Постройте векторы 2a и −a и укажите их длины и направления. Сначала определим, во сколько раз изменится длина, а затем учтём знак множителя. На прямой, параллельной a, отложим нужные отрезки.
Ответ: 2a имеет длину 6 см и сонаправлен с a; −a имеет длину 3 см и направлен противоположно a. Задача 2. Точка M — середина отрезка AB. Выразите вектор AM через вектор AB и объясните, почему они коллинеарны. Середина делит отрезок на две равные части, причём точки A, M и B лежат на одной прямой.
Ответ: AM = ½AB; векторы коллинеарны, потому что лежат на одной прямой. Задача 3. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC. Докажите, что вектор MN равен ½ вектора BC. Чтобы связать начало M и конец N, выразим MN через векторы, выходящие из точки A. Затем заменим их равными половинами векторов сторон.
Ответ: MN = ½BC. Равенство показывает, что MN и BC сонаправлены и коллинеарны, а длина MN вдвое меньше длины BC.
Ошибка — считать, что при отрицательном λ длина λa тоже отрицательна. Так рассуждают, перенося знак числа на длину, хотя длина является расстоянием и не бывает меньше нуля. Проверка: вычислите длину по формуле |λ|·|a| и убедитесь, что результат неотрицательный.
При λ < 0 иногда оставляют вектор направленным так же, как исходный. Причина — внимание сосредоточено на изменении длины, а знак множителя забывают учесть. Проверьте знак перед построением: минус означает противоположное направление, даже если длина рассчитана верно.
Запись λa можно ошибочно прочитать как сумму λ + a. Но λa — это новый вектор, полученный изменением длины и, возможно, направления исходного, а складывать число и вектор в таком смысле нельзя. Для самопроверки вспомните правило записи: число стоит множителем перед вектором, а сложение векторов обозначают знаком плюс между векторами.
Нельзя утверждать, что любые два вектора связаны умножением на число. Такая запись возможна только для коллинеарных векторов, потому что умножение не меняет прямую, на которой лежит исходный вектор. Проверьте, лежат ли векторы на одной или параллельных прямых: если нет, подобрать коэффициент нельзя.
Для изучения темы нужны понятия вектора и его длины, а также равных и противоположных векторов. Нужно уметь складывать и вычитать векторы: именно эти действия помогают преобразовывать выражения в доказательствах. Умножение на число связывает все эти правила в один способ работы с векторами. Поэтому полезно сначала проверить, что вы умеете находить сумму и разность векторов.
Дальше умножение на число понадобится при разложении вектора по двум векторам и при решении геометрических задач векторным методом. Коэффициенты позволяют записывать, как отрезки соотносятся по длине и направлению. Затем такие записи используют вместе с правилами сложения и вычитания. Например, так доказывают утверждения о серединах сторон треугольника.
Почему длина произведения вектора на число умножается на модуль числа?
Модуль числа показывает, во сколько раз меняется длина вектора. Длина не может быть отрицательной, поэтому используется модуль множителя: |λa| = |λ|·|a|.
Что происходит с направлением вектора при умножении на отрицательное число?
Вектор направляется противоположно исходному. Отрицательный множитель меняет направление, а длина становится равной произведению длины исходного вектора на модуль множителя.
Можно ли умножить нулевой вектор на любое число?
Да, нулевой вектор можно умножить на любое число. Результат всегда будет нулевым вектором, потому что его длина равна нулю.
Как понять, что два вектора коллинеарны?
Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть направлены одинаково или противоположно.
Как умножение векторов на число помогает доказывать геометрические утверждения?
Оно позволяет записывать один вектор как числовую долю другого, например, когда отрезок делят пополам. Такие записи можно подставлять в равенства векторов и с их помощью доказывать свойства фигур.
§ 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач
