83. Произведение вектора на число

Определения и обозначения

Произведением вектора a на число k называют вектор, который обозначают ka или k · a. Число k называют коэффициентом умножения вектора. Такая запись показывает, во сколько раз нужно изменить вектор и в какую сторону направить результат.

Произведение ненулевого вектора на положительное число — это вектор, сонаправленный с исходным. Его длина увеличивается или уменьшается в положительное число раз: |ka| = k · |a| при k > 0. Это нужно, чтобы строить векторы той же направленности, но другой длины.

При умножении ненулевого вектора на отрицательное число получается вектор противоположного направления. Его длина равна |k| · |a|, потому что длина не бывает отрицательной. Отрицательный знак отдельно указывает, что результат направлен в другую сторону.

При умножении любого вектора на нуль получается нулевой вектор: 0a = 0. Нулевой вектор, умноженный на любое число, также остаётся нулевым: k · 0 = 0. В обоих случаях длина результата равна нулю, поэтому определённого направления нет.

Как это устроено

Геометрически умножение на число действует вдоль той же прямой, на которой лежит исходный вектор. Поэтому результат коллинеарен исходному вектору, то есть лежит на параллельной или совпадающей с ним прямой. Длина результата равна |k| · |a|: модуль показывает масштаб изменения, а неотрицательная длина не может зависеть от знака напрямую.

Положительный коэффициент не переворачивает вектор, потому что умножение на положительное число сохраняет выбранное направление от начала к концу. Если коэффициент больше единицы, вектор растягивается, а если находится между 0 и 1, укорачивается. При отрицательном коэффициенте сначала происходит такое же изменение длины по модулю, но знак дополнительно переводит конец вектора на противоположную сторону.

Например, чтобы построить 3a, отложите от выбранной точки три последовательно равных отрезка, сонаправленных с a. Получившийся вектор имеет длину 3|a|. Чтобы построить −2a, отложите два равных отрезка на той же прямой, но в сторону, противоположную a; длина результата будет 2|a|.

Умножение распределяется относительно сложения: k(a + b) = ka + kb, потому что общий масштаб можно применить к каждому слагаемому отдельно. Для сложения чисел действует формула (k + m)a = ka + ma: два растяжения вдоль одной прямой можно заменить одним с коэффициентом k + m. Есть и сочетательное свойство k(ma) = (km)a, а умножение на единицу ничего не меняет: 1a = a.

Как коэффициент влияет на произведение вектора на число

Сначала определите знак коэффициента, чтобы понять направление результата. Затем возьмите его модуль и умножьте на длину исходного вектора. Если коэффициент равен нулю, сразу записывайте нулевой вектор.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор a длиной 2 см. Построить векторы 3a и −2a. В первом случае коэффициент положительный, а во втором отрицательный, поэтому направление нужно выбирать по знаку.

1. Для 3a вычислим длину: |3a| = 3 · 2 = 6 см.
2. Отложим от начальной точки отрезок длиной 6 см в направлении a.
3. Для −2a вычислим длину: |−2a| = 2 · 2 = 4 см.
4. Отложим отрезок длиной 4 см на той же прямой, но противоположно направлению a.

Ответ: 3a имеет длину 6 см и направление a, а −2a имеет длину 4 см и противоположное направление.

Задача 2. Упростить выражение 3(a + b) − 2a + b. Нужно раскрыть скобки, умножив коэффициент на каждый вектор внутри скобок, а затем объединить подобные слагаемые.

1. Применим распределительное свойство: 3(a + b) = 3a + 3b.
2. Подставим результат: 3a + 3b − 2a + b.
3. Соберём слагаемые с a и с b: (3 − 2)a + (3 + 1)b.
4. Получим a + 4b.

Ответ: 3(a + b) − 2a + b = a + 4b.

Задача 3. Ненулевые коллинеарные векторы a и b имеют длины 4 и 10, причём направлены противоположно. Найти k, если b = ka. Сначала найдём отношение длин, а затем учтём противоположные направления.

1. Из равенства b = ka следует |b| = |k| · |a|.
2. Подставим длины: 10 = |k| · 4, поэтому |k| = 10/4 = 2,5.
3. Направления противоположны, значит коэффициент должен быть отрицательным.
4. Следовательно, k = −2,5.

Ответ: k = −2,5. Проверка: длина −2,5a равна 2,5 · 4 = 10, а направление противоположно направлению a.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что отрицательный коэффициент меняет только длину. Так допускают, когда замечают число без его знака; проверьте знак коэффициента и обязательно укажите противоположное направление.

Ошибка: умножать длину на отрицательное число без модуля. Длина не может быть отрицательной, поэтому используйте формулу |ka| = |k| · |a| и проверьте, получился ли неотрицательный результат.

Ошибка: считать, что нулевой результат возникает только у ненулевого вектора. На самом деле 0a = 0 и k · 0 = 0; при наличии нулевого вектора сразу применяйте это правило.

Ошибка: раскрывать скобки только для первого слагаемого. При проверке распределительного свойства убедитесь, что коэффициент умножен на каждый вектор: k(a + b) = ka + kb.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать обозначение вектора, его длину, нулевой вектор, а также различать сонаправленные и противоположно направленные векторы. Эти понятия помогают правильно определить результат умножения.

Умножение вектора на число используется для проверки коллинеарности: если b = ka, векторы коллинеарны. Оно также пригодится при разложении вектора на составляющие, когда один вектор выражают через другие.

Что запомнить

• Длина произведения вектора на число равна длине вектора, умноженной на модуль числа.
• При положительном коэффициенте направление сохраняется.
• При отрицательном коэффициенте направление меняется на противоположное.
• При умножении на нуль получается нулевой вектор.
• a · 1 = a.
• k(a + b) = ka + kb.
• (k + m)a = ka + ma.