94. Произведение вектора на число

Определения и обозначения

Произведение вектора на число — это вектор, который при положительном числе направлен так же, как исходный, а при отрицательном — противоположно ему. Его длина равна длине исходного вектора, умноженной на модуль числа. Это позволяет растягивать, уменьшать или разворачивать вектор.

Коэффициентом называют число, на которое умножают вектор. Произведение вектора a на коэффициент k записывают как ka, причём буква обычно ставится перед обозначением вектора. По коэффициенту сразу можно определить изменение длины и направления.

Нулевой вектор получается при умножении любого вектора на число 0: 0a = 0. Его длина равна нулю, поэтому определённого направления у него нет. Такой случай нужен, чтобы действие умножения было определено и для нулевого коэффициента.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Произведение ненулевого вектора на ненулевое число всегда коллинеарно исходному. Поэтому умножение позволяет получать все векторы, направленные вдоль выбранного направления.

Как это устроено

Чтобы построить вектор ka, сначала проводят прямую, совпадающую с направлением a, или параллельную ей. Затем от начала откладывают отрезок длиной |k|·|a|. Такая длина нужна потому, что умножение числа на модуль вектора означает изменение масштаба, а знак числа отдельно отвечает за выбор направления.

Если k > 0, произведение сохраняет направление a: при k = 1 длина не меняется, при k > 1 вектор становится длиннее, а при 0 < k < 1 — короче. Если k < 0, сначала берут масштаб |k|, а затем разворачивают вектор. При k = 0 длина становится нулевой, поэтому вместо направленного отрезка получается нулевой вектор.

Пусть ненулевой вектор b коллинеарен ненулевому вектору a. Тогда отношение длин |b|/|a| задаёт, во сколько раз нужно изменить a, а направление определяет знак коэффициента. Поэтому b = ka: k положительно при сонаправленности и отрицательно при противоположной направленности.

Умножение согласуется со сложением и обычными действиями над числами: (k + m)a = ka + ma, k(a + b) = ka + kb, k(ma) = (km)a и 1a = a. Первое правило позволяет складывать коэффициенты у одного вектора, второе — раскрывать скобки, третье — заменять последовательное умножение одним коэффициентом. Эти свойства следуют из того, что длина и направление результата меняются так же, как при соответствующих действиях с числами.

Направление и длина вектора ka в зависимости от коэффициента

Сначала найдите строку по знаку коэффициента, затем определите направление и длину произведения. В строке k < 0 используйте именно |k| при вычислении длины. Если коэффициент равен нулю, направление у результата указывать нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Постройте вектор 2a, если дан вектор a, и укажите его длину и направление. Коэффициент 2 положителен, поэтому вектор не разворачивается, а его масштаб увеличивается в два раза.

1. Из начала вектора a проведите прямую в том же направлении.
2. На этой прямой отложите вектор длиной 2|a|.
3. Так как 2 > 0, полученный вектор направьте так же, как a.

Ответ: 2a сонаправлен с a, а его длина равна |2a| = 2|a|.

Задача 2

Даны векторы a и b, причём b направлен противоположно a и |b| = 3|a|. Представьте b в виде ka и найдите k. Нужно отдельно учесть отношение длин и противоположные направления.

1. Из равенства длин следует, что |k| = |b|/|a| = 3.
2. Вектор b противоположно направлен вектору a, значит, коэффициент должен быть отрицательным.
3. Выбираем k = −3 и получаем b = −3a.

Ответ: b = −3a. Проверка: длина результата равна 3|a|, а направление противоположно направлению a.

Задача 3

Даны неколлинеарные векторы a и b. Упростите выражение 3(a − 2b) − 2(a + b). Сначала раскроем скобки, чтобы собрать коэффициенты при каждом векторе.

1. По распределительному свойству 3(a − 2b) = 3a − 6b.
2. Второе слагаемое преобразуем так: −2(a + b) = −2a − 2b.
3. Складываем подобные векторные слагаемые: 3a − 2a = a, а −6b − 2b = −8b.

Ответ: a − 8b. Неколлинеарность здесь подчёркивает, что коэффициенты при a и b собираются отдельно: заменить их одним общим числом нельзя.

Типичные ошибки

При отрицательном коэффициенте иногда сохраняют направление исходного вектора. Так происходит, если обращают внимание только на длину и забывают о знаке. Проверьте себя: у −ka и a при k > 0 направления должны быть противоположными.

Длину иногда умножают на k, а не на |k|. Из-за этого при отрицательном коэффициенте получают отрицательную длину, что невозможно. Используйте формулу |ka| = |k|·|a| и убедитесь, что результат не меньше нуля.

При k = 0 пытаются указать направление произведения. Ошибка возникает потому, что нулевой вектор мысленно представляют как короткий направленный отрезок. Проверьте длину: если она равна нулю, направление не определяется.

Некоторые считают произведение только умножением длины или координат без изменения направления. Это неверно, поскольку знак коэффициента обязательно учитывается. После вычисления проверьте сразу два свойства: длину по модулю коэффициента и направление по его знаку.

Связь с другими темами

Для работы с произведением вектора на число нужны понятия вектора, его длины, противоположных и коллинеарных векторов, а также сложения векторов. Новое действие помогает раскладывать векторы по двум направлениям и доказывать свойства геометрических фигур. В координатах умножение выполняется покоординатно: если a = (x; y), то ka = (kx; ky), что позволяет решать задачи аналитически.

Что запомнить

• Произведение ka обозначают ka.
• Длина произведения равна |ka| = |k|·|a|.
• При k > 0 векторы ka и a сонаправлены.
• При k < 0 векторы ka и a противоположно направлены.
• При k = 0 получается нулевой вектор.
• Произведение ненулевого вектора на ненулевое число коллинеарно исходному.
• (k + m)a = ka + ma и k(a + b) = ka + kb.