95. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — это угол от 0° до 180°, который образуют лучи, сонаправленные с векторами, если совместить их начала. Векторы можно параллельно переносить: их длины и направления при этом не меняются. Поэтому величина угла зависит только от самих векторов, а не от места, где они нарисованы. Такое определение позволяет одинаково сравнивать векторы на любом чертеже.

Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a·b = |a||b|cos α. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а α — угол между ними. Запись a·b означает именно числовой результат, а не новый вектор. Эта величина учитывает и размеры векторов, и то, насколько их направления совпадают.

Ортогональными называют векторы, угол между которыми равен 90°; это другое название перпендикулярных векторов. Поскольку cos 90° = 0, для них a·b = 0. Это условие удобно, когда направления заданы координатами и угол трудно увидеть на рисунке. Если рассматриваются ненулевые векторы, нулевое произведение означает, что они перпендикулярны.

Координатная формула на плоскости имеет вид: если a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂), то a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Векторы должны быть заданы в одной прямоугольной системе координат. Нужно перемножить первые координаты между собой, затем вторые и сложить результаты. Формула превращает геометрическое определение в короткий способ вычисления по известным координатам.

Как это устроено

Геометрическое определение умножает длины на cos α, потому что одного размера векторов недостаточно: результат должен учитывать их взаимное направление. Если векторы сонаправлены, α = 0° и cos α = 1, поэтому произведение равно произведению длин. При прямом угле косинус равен нулю, а при тупом — отрицателен. Так скалярное произведение кодирует направленность взаимодействия векторов одним числом.

Из определения сразу следует переместительное свойство: a·b = b·a. При перестановке векторов не меняются ни произведение их длин, ни угол между ними. Распределительное свойство получается потому, что угол и длина в сумме векторов отражают вклад каждого слагаемого: (a + b)·c = a·c + b·c. Числовой множитель также можно вынести: (ka)·b = k(a·b), поскольку умножение вектора на k меняет его длину в |k| раз, а при отрицательном k ещё и направление; в итоге знак учитывается множителем k.

Для вектора a угол между ним и самим собой равен 0°, поэтому a·a = |a||a|cos 0° = |a|². Результат неотрицателен и равен квадрату длины. Это свойство связывает скалярное произведение с уже знакомой формулой длины и позволяет находить длину через координаты: для a = (x; y) получаем |a|² = x² + y². Оно также служит удобной проверкой вычислений.

Координатная формула возникает из разложения векторов по двум взаимно перпендикулярным направлениям — осям координат. Запишем a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂) как сумму горизонтальной и вертикальной составляющих. При раскрытии произведения суммы смешанные слагаемые пропадают: направления осей перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю. Остаются произведения горизонтальных координат и вертикальных, поэтому a·b = x₁x₂ + y₁y₂.

Чтобы найти угол, сначала вычисляют произведение и длины, а затем из определения выражают cos α = (a·b)/(|a||b|). По полученному значению определяют угол от 0° до 180°; для ненулевых векторов косинус должен быть в пределах от −1 до 1. Чтобы проверить перпендикулярность по координатам, достаточно вычислить x₁x₂ + y₁y₂. Если сумма равна нулю, векторы ортогональны; этот способ работает и без построения чертежа.

Определение, формулы и основные свойства скалярного произведения

Выбирай строку по данным задачи: если заданы длины и угол, используй определение, а если координаты — координатную формулу. Чтобы проверить прямой угол, достаточно получить ноль; для нахождения угла сначала вычисли произведение и длины. Свойства помогают упрощать выражения до подстановки чисел.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы длиной 5 и 4, угол между ними равен 60°. Найдите их скалярное произведение.

1. Выбираем определение, потому что известны обе длины и угол: a·b = |a||b|cos α.
2. Подставляем данные: a·b = 5 · 4 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получаем 20 · ½ = 10.

Ответ: 10. Здесь произведение длин не совпало с ответом, потому что косинус угла уменьшил результат вдвое.

Задача 2. Даны a = (2; −3) и b = (4; 1). Найдите a·b и определите, перпендикулярны ли векторы.

1. Координаты заданы, поэтому используем a·b = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Перемножаем соответствующие координаты и складываем: a·b = 2 · 4 + (−3) · 1 = 8 − 3 = 5.
3. Для перпендикулярных векторов произведение должно быть нулём. Поскольку 5 ≠ 0, векторы не перпендикулярны.

Ответ: a·b = 5; векторы не перпендикулярны. Проверка через ноль применима здесь, так как оба вектора ненулевые.

Задача 3. Даны a = (1; 2) и b = (3; −1). Найдите косинус угла между векторами и сам угол.

1. Находим произведение: a·b = 1 · 3 + 2 · (−1) = 1.
2. Вычисляем длины по координатам: |a| = √(1² + 2²) = √5, |b| = √(3² + (−1)²) = √10.
3. Подставляем в cos α = (a·b)/(|a||b|): cos α = 1/(√5 · √10) = 1/√50 = √2/10.
4. Угол равен arccos(√2/10), приблизительно 81,9°. Значение косинуса положительно, поэтому угол острый, что согласуется с результатом.

Ответ: cos α = √2/10; α ≈ 81,9°.

Типичные ошибки

Ошибка: заменить скалярное произведение просто произведением длин. Её допускают, когда запоминают часть формулы и забывают, что направление задаёт cos α. Проверяй, записан ли множитель косинуса, и оценивай результат: при прямом угле произведение должно быть нулём, хотя длины ненулевые.

Ошибка: перепутать координатную формулу с формулой длины или сложения векторов. В скалярном произведении нужно отдельно перемножить первые координаты, затем вторые, после чего сложить: x₁x₂ + y₁y₂. Для самопроверки подставь обозначения и проверь, что в каждой паре стоят соответствующие координаты обоих векторов.

Ошибка: считать, что нулевое произведение возможно только при нулевом векторе. Такое предположение возникает из привычки связывать произведение с длинами, но здесь действует ещё и косинус угла. Проверь ненулевые векторы по координатной формуле: если сумма равна нулю, они перпендикулярны.

Ошибка: находить угол без деления на произведение длин или получать невозможное значение косинуса. Из a·b = |a||b|cos α нужно выразить cos α, разделив на |a||b|. Перед поиском угла проверь результат: он обязан лежать от −1 до 1; если это не так, пересчитай произведение и длины.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны координаты вектора, его длина и умение находить координаты по концам. Также пригодятся значения косинуса знакомых углов и понимание, что прямые углы соответствуют перпендикулярным направлениям. Координатная формула связывает вычисления с геометрическим смыслом угла: одну и ту же величину можно найти двумя способами. Позже это свойство поможет в координатном методе решать задачи на углы и перпендикулярность.

Что запомнить

• a·b = |a||b|cos∠(a, b).
• Скалярное произведение — число, а не вектор.
• В координатах a·b = x₁x₂ + y₁y₂.
• a·a = |a|².
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Скалярное произведение не меняется при перестановке множителей.