§ 32. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Умножение вектора на число — действие, при котором по заданным вектору a и числу λ строят новый вектор. Его обозначают λa и называют произведением вектора a на число λ. Эта операция позволяет изменить длину вектора и, если множитель отрицательный, изменить направление.

Произведение вектора на число λ — вектор, длина которого равна |λ| · |a|, а направление определяется знаком λ. Здесь |λ| — модуль числа, то есть его расстояние от нуля на числовой прямой. Такое правило отделяет изменение длины от изменения направления и помогает правильно строить результат.

Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть направлены одинаково или противоположно, а их длины не обязаны совпадать. Понятие нужно, чтобы распознавать векторы, которые можно выразить друг через друга умножением на число.

Противоположный вектор к a обозначают −a. Он имеет ту же длину, что и a, но направлен в обратную сторону. Это частный случай умножения на число −1: −a = (−1)a; так можно заменить вычитание векторов сложением противоположного.

Как это устроено

Чтобы определить произведение λa, сначала смотрят на модуль числа λ: длину a умножают на |λ|. Модуль нужен потому, что длина вектора всегда неотрицательна, даже когда число-множитель отрицательное. Затем отдельно учитывают знак λ и выбирают направление полученного вектора.

При λ > 0 направление сохраняется: вектор λa сонаправлен с a, а его длина увеличивается или уменьшается в λ раз. При λ < 0 вектор разворачивается на противоположное направление, потому что отрицательный множитель меняет знак вектора. Если λ = 0, длина произведения равна нулю, поэтому получается нулевой вектор без направления.

Умножение связывает операцию с коллинеарностью: ненулевые коллинеарные векторы всегда можно представить как кратные друг другу. Для сонаправленных векторов множитель положительный, а для противоположно направленных — отрицательный. Его модуль показывает отношение длин; значит, по множителю можно узнать и направление, и масштаб изменения.

Равенство (λ + μ)a = λa + μa следует из того, что оба слагаемых лежат вдоль одного направления (или противоположного ему). Их длины с учётом знака складываются так же, как числа λ и μ; если сумма равна нулю, результатом будет нулевой вектор. Например, если λ = 2, а μ = 3, то сложение двух кратных a даёт 5a.

Свойство λ(a + b) = λa + λb означает, что множитель действует на каждое слагаемое вектора. При сложении a и b сначала получают их общий вектор, а увеличение или разворот всего результата равносилен такому же действию отдельно на a и b. Последовательное умножение даёт λ(μa) = (λμ)a: два изменения длины и направления можно заменить одним множителем, поскольку знак и величина итогового изменения задаются произведением чисел.

Умножение вектора на число: правило и свойства

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите знак множителя — он подскажет направление. Затем вычислите модуль множителя и умножьте на него длину исходного вектора. Если нужно раскрыть скобки или выполнить умножение в несколько этапов, применяйте соответствующее свойство из двух последних строк.

Разбор задач

Задача 1. Вектор a имеет длину 3 см. Построить векторы 2a и −2a. Нужно учесть, что оба множителя по модулю равны 2, поэтому длины новых векторов будут одинаковыми. Но положительный и отрицательный знаки задают разные направления.

1. Вычисляем длину каждого произведения: |2a| = 2 · 3 = 6 см и |−2a| = |−2| · 3 = 6 см.
2. Вектор 2a направляем так же, как a, поскольку 2 > 0.
3. Вектор −2a направляем противоположно a, поскольку −2 < 0. От одной точки можно отложить оба вектора длиной 6 см в соответствующих направлениях.

Ответ: оба вектора имеют длину 6 см; 2a сонаправлен с a, а −2a направлен противоположно ему. Задача 2. Даны координаты a = (2; −1). Найти 3a и −a. При умножении по координатам число должно действовать на обе координаты, иначе получится уже другой вектор.

1. Для 3a умножаем каждую координату на 3: 3a = (3 · 2; 3 · (−1)) = (6; −3).
2. Для −a умножаем обе координаты на −1: −a = (−1 · 2; −1 · (−1)) = (−2; 1).
3. Проверяем смысл знака: у −a обе координаты противоположны соответствующим координатам a, поэтому вектор направлен в обратную сторону.

Ответ: 3a = (6; −3), −a = (−2; 1). Задача 3. Даны a = (2; 3) и b = (−4; −6). Нужно установить, коллинеарны ли они, и выразить один через другой. Для этого проверим, получается ли обе координаты одного вектора умножением координат другого на одно и то же число.

1. Сравниваем координаты: −4 / 2 = −2 и −6 / 3 = −2. Отношения совпали, значит, для обеих координат подходит общий множитель.
2. Следовательно, b = −2a. Один вектор получен из другого умножением на число, поэтому векторы коллинеарны.
3. Отрицательный множитель показывает, что направления противоположны, а модуль 2 — что длина b вдвое больше длины a.

Ответ: векторы коллинеарны, b = −2a; также a = −½b.

Типичные ошибки

При нахождении длины λa иногда умножают длину на λ, из-за чего при отрицательном множителе получают отрицательную длину. Это происходит, когда знак числа не отделяют от масштаба изменения. Проверка простая: длина должна быть неотрицательной, поэтому используйте |λ| · |a|, а знак учитывайте только при выборе направления.

Некоторые считают, что при λ = 0 результат сохраняет направление a. Но у нулевого вектора длина равна нулю, и направление для него не определяется. Чтобы проверить себя, подставьте λ = 0 в формулу длины: получатся ноль, а значит, нельзя говорить о направлении такого вектора.

При раскрытии скобок λ(a + b) иногда ошибочно записывают как λa + b. Так забывают, что множитель относится ко всей сумме, а не только к первому слагаемому. Проверьте результат по правилу: число перед скобками умножает каждый вектор внутри, поэтому правильно λa + λb.

При умножении координат могут умножить только первую или только вторую координату. Обычно так происходит, если действие воспринимают как изменение одной части записи, а не всего вектора. Запишите координаты в скобках и проверьте, что множитель стоит у каждого числа: λ(x; y) = (λx; λy).

Связь с другими темами

Для умножения вектора на число нужны понятия вектора, его длины, направления и координат. Без длины нельзя определить масштаб произведения, без направления — понять действие знака, а координаты дают удобный способ вычисления. Эти знания служат основой для дальнейших операций с векторами.

Умножение на число понадобится при изучении линейных комбинаций векторов — выражений, составленных из кратных векторов и их сумм. Оно также помогает формулировать и проверять признаки коллинеарности: если один ненулевой вектор является числовым множителем другого, они коллинеарны. В координатах это сводится к поиску общего множителя для соответствующих координат.

Что запомнить

• Длина λa равна |λ| · |a|.
• При положительном λ векторы a и λa сонаправлены.
• При отрицательном λ векторы a и λa противоположно направлены.
• При λ = 0 произведение λa — нулевой вектор.
• λ(a + b) = λa + λb.
• (λ + μ)a = λa + μa.
• λ(μa) = (λμ)a.