§ 33. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координаты вектора — это два числа, показывающие, насколько вектор направлен вправо или влево и вверх или вниз. Вектор a записывают парой чисел: a = (a₁; a₂), где a₁ отвечает за горизонтальное, а a₂ — за вертикальное смещение. Например, (3; −2) означает перемещение на 3 единицы вправо и на 2 вниз. Такая запись позволяет описывать вектор числами и выполнять вычисления без чертежа.

Координатным вектором называют вектор, начало которого находится в начале координат O(0; 0). Если его конец имеет координаты (a₁; a₂), то сам вектор записывают как (a₁; a₂). Это совпадение объясняется тем, что при поиске координат вектора из координат конца вычитают координаты начала, а у начала обе координаты равны нулю. Координатные векторы удобны для наглядного задания направления и величины смещения.

Координаты вектора, заданного точками начала и конца, находят как разности соответствующих координат конца и начала. Если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Первое число показывает изменение по горизонтали, второе — по вертикали. Это правило помогает перейти от положения двух точек к самому перемещению между ними.

Длина вектора — расстояние от его начала до конца. Для вектора (a₁; a₂) она равна √(a₁² + a₂²). Координаты можно представить катетами прямоугольного треугольника, а длину вектора — его гипотенузой. Формула нужна, когда требуется найти размер перемещения по его координатам.

Как это устроено

Координатные оси задают на плоскости два направления: горизонтальное и вертикальное. Если передвигаться по горизонтали, меняется только первая координата, а движение по вертикали изменяет только вторую. Поэтому любой вектор можно разложить на два последовательных смещения: сначала вдоль одной оси, затем вдоль другой. Их величины и знаки как раз и записываются парой координат вектора.

Чтобы найти координаты AB, сравнивают положение конца B с началом A. Например, если точка A имеет первую координату 2, а точка B — 5, то перемещение по горизонтали равно 5 − 2 = 3; именно настолько изменилось положение. Если вычесть наоборот, получится смещение от B к A, то есть координата вектора BA. Так порядок «конец минус начало» сохраняет направление вектора.

Равные векторы могут начинаться в разных точках, но должны иметь одинаковые направление и длину. Их горизонтальные и вертикальные смещения поэтому тоже совпадают, а значит, совпадают и координаты. Например, перенос вектора на плоскости не меняет того, насколько он смещает точку по каждой оси. Благодаря этому равенство векторов можно проверять по координатам, не сравнивая их положение на чертеже.

При сложении и вычитании складывают или вычитают смещения по каждой оси отдельно. Горизонтальные координаты сравнивают друг с другом, и то же самое делают с вертикальными; смешивать их нельзя, потому что они описывают разные направления. Умножение вектора на число тоже изменяет каждую составляющую: положительное число масштабирует смещение, а отрицательное меняет его направление и масштаб. Такой способ сводит действия с векторами к действиям с числами.

Координаты вектора можно считать катетами прямоугольного треугольника: они задают два перпендикулярных смещения, а сам вектор соединяет начало с конечной точкой. По теореме Пифагора квадрат длины равен сумме квадратов катетов. Знаки координат указывают направления, но длина не может быть отрицательной, поэтому координаты сначала возводят в квадрат. После извлечения корня получают длину вектора.

Координаты векторов и действия с ними

Сначала определи, какая операция нужна, затем найди подходящую строку таблицы. В каждой паре координат выполняй одно и то же действие отдельно с первыми и вторыми числами. Для длины вместо сложения координат используй формулу с квадратами.

Разбор задач

Задача 1. Найдите координаты вектора AB, если A(2; −1), B(5; 3).

1. Определяем начало и конец: вектор направлен от A к B, значит, координаты B будут вычитаемыми первыми.
2. Для первой координаты считаем 5 − 2 = 3. Для второй — 3 − (−1) = 4; вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
3. Объединяем результаты в пару. Проверка здравого смысла: от A к B нужно двигаться вправо и вверх, и обе координаты получились положительными.

Ответ: AB = (3; 4).

Задача 2. Даны векторы a = (−2; 4) и b = (3; 1). Найдите a + b, a − b и 2a.

1. При сложении берём первые координаты отдельно, затем вторые: a + b = (−2 + 3; 4 + 1) = (1; 5).
2. Для разности сохраняем порядок: из координат a вычитаем координаты b. Получаем a − b = (−2 − 3; 4 − 1) = (−5; 3).
3. При умножении на 2 каждую координату a умножаем на два: 2a = (2 · (−2); 2 · 4) = (−4; 8). Проверяем, что во всех трёх действиях первые координаты не смешивались со вторыми.

Ответ: a + b = (1; 5), a − b = (−5; 3), 2a = (−4; 8).

Задача 3. Точка A имеет координаты (−1; 2), а вектор AB — координаты (4; −3). Найдите координаты точки B и длину вектора AB.

1. Координаты AB показывают, как изменились координаты при переходе от A к B. Поэтому к координатам A прибавляем соответствующие координаты вектора: B = (−1 + 4; 2 + (−3)) = (3; −1).
2. Для длины используем обе координаты вектора, а не координаты точки B. Возводим их в квадрат: 4² = 16 и (−3)² = 9.
3. Складываем квадраты и извлекаем корень: |AB| = √(16 + 9) = √25 = 5. Полученная длина положительна, как и должно быть для расстояния.

Ответ: B(3; −1), |AB| = 5.

Типичные ошибки

Иногда вычитают координаты начала из координат конца наоборот. Так получают координаты противоположного вектора, потому что направление меняется на обратное. Ошибка часто возникает, если запомнить только два числа, не связывая их с направлением от A к B. Проверяй порядок на записи AB: сначала координаты B, затем координаты A.

При сложении или вычитании можно случайно соединить первую координату одного вектора со второй координатой другого. Это происходит, когда пару чисел воспринимают как обычную запись без связи с осями. Но компоненты отвечают за разные направления, поэтому складывать нужно первые с первыми, вторые со вторыми. Для самопроверки запиши промежуточную пару в скобках до вычислений.

Равные векторы иногда считают обязанными иметь общее начало или одинаковое место на рисунке. Положение может отличаться, поскольку вектор задаёт смещение, а не конкретный отрезок, закреплённый в точке. Ошибка возникает из-за привычки сравнивать геометрические фигуры по их расположению. Проверь направление и длину, или сравни обе координаты векторов.

Длину вектора иногда находят как сумму модулей координат. Такое вычисление складывает два отдельных смещения, но не учитывает, что они взаимно перпендикулярны; поэтому оно обычно даёт неверный результат. Для прямоугольного треугольника нужна теорема Пифагора: сумма квадратов катетов, затем квадратный корень. Проверить себя можно на векторе (3; 4): его длина 5, а не 7.

Связь с другими темами

Для работы с координатами вектора нужны координатная плоскость, координаты точки и направленный отрезок. Координатная плоскость задаёт оси и направления, а координаты точек позволяют определить начало и конец вектора. Теорема Пифагора помогает перейти от двух составляющих к длине. Эти знания соединяются в правилах вычисления координат и расстояний.

Координаты векторов полезны в задачах о перемещении: можно описать сдвиг, сложить несколько перемещений или обратить их направление. Они также помогают находить расстояние между точками, рассматривая отрезок как вектор. В дальнейшем те же правила пригодятся при более сложных действиях с векторами.

Что запомнить

• Координаты вектора AB равны координатам B минус координаты A.
• Равные векторы имеют равные координаты.
• Координаты суммы и разности находят по соответствующим компонентам.
• При умножении вектора на число умножают на это число каждую координату.
• Длина вектора (a₁; a₂) равна √(a₁² + a₂²).