6.2. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a·b = |a||b|cos φ. Здесь a и b — векторы, а точка обозначает скалярное произведение. Оно нужно, чтобы заменить геометрические сведения о длинах и направлении одним числом.

Угол между ненулевыми векторами получают, если отложить оба вектора от общего начала. Выбирают меньший угол между их направлениями, поэтому он лежит от 0° до 180°. Такое определение позволяет однозначно использовать cos φ в формуле и сравнивать направление векторов.

Перпендикулярные векторы — это векторы, угол между которыми равен 90°. Так как cos 90° = 0, их скалярное произведение равно нулю. Для ненулевых векторов верно и обратное: если a·b = 0, то векторы перпендикулярны.

Как это устроено

В формуле a·b = |a||b|cos φ длины задают размеры векторов, а косинус учитывает их взаимное направление. Если направления совпадают, φ = 0° и cos φ = 1, поэтому произведение максимально и равно |a||b|. Если один из векторов образует с другим прямой угол, направленная составляющая исчезает, потому что cos 90° = 0.

Знак произведения тоже связан с углом. При остром угле косинус положителен, поэтому a·b > 0; при тупом косинус отрицателен, поэтому a·b < 0. При прямом угле произведение равно нулю, что даёт удобный способ проверять перпендикулярность без построения чертежа.

Для вывода координатной формулы представим векторы a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) через их горизонтальные и вертикальные составляющие. Вклад одинаково направленных составляющих равен x₁x₂ и y₁y₂, а сумма этих вкладов даёт a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Поэтому координатное правило заменяет вычисление длин и косинуса несколькими умножениями.

Скалярное произведение переместительно: a·b = b·a, поскольку умножение чисел не зависит от порядка. Оно распределительно относительно сложения: (a + b)·c = a·c + b·c. При умножении вектора на себя получаем a·a = |a||a|cos 0° = |a|², поэтому так можно находить квадрат длины.

Скалярное произведение: определение и свойства

В первом столбце таблицы указано, какое свойство или действие рассматривается. Геометрическую запись удобно применять, когда известны длины и угол, а координатную — когда заданы координаты векторов. Для нахождения угла сначала вычисляют произведение и длины, а затем используют последнюю строку.

Разбор задач

Задача 1

Условие: найдите скалярное произведение векторов длиной 4 и 5, если угол между ними равен 60°. Известны обе длины и угол, поэтому координаты здесь не нужны. Используем геометрическое определение.

1. Записываем формулу: a·b = |a||b|cos 60°.
2. Подставляем значения: a·b = 4·5·½.
3. Выполняем умножение: 20·½ = 10.

Ответ: скалярное произведение равно 10. Положительный результат согласуется с тем, что угол 60° острый.

Задача 2

Условие: даны a = (2; −3) и b = (4; 2). Найдите их скалярное произведение и установите, перпендикулярны ли векторы. При координатном способе перемножаем соответствующие координаты, не меняя знаки. Затем сравниваем результат с нулём.

1. Вычисляем произведение: a·b = 2·4 + (−3)·2.
2. Считаем каждую часть: 2·4 = 8, а (−3)·2 = −6.
3. Складываем: a·b = 8 − 6 = 2.
4. Так как 2 ≠ 0, ненулевые векторы не перпендикулярны.

Ответ: a·b = 2; векторы не перпендикулярны. Положительный знак также показывает, что угол между ними острый.

Задача 3

Условие: найдите угол между a = (1; 1) и b = (1; 0). Сначала найдём произведение по координатам, затем длины векторов. После этого косинус угла будет известен, и по таблице значений косинуса можно определить сам угол.

1. Скалярное произведение: a·b = 1·1 + 1·0 = 1.
2. Длины: |a| = √(1² + 1²) = √2, |b| = √(1² + 0²) = 1.
3. Находим косинус: cos φ = 1/(√2·1) = 1/√2 = √2/2.
4. Значению √2/2 соответствует угол 45°.

Ответ: угол между векторами равен 45°. Он острый, что подтверждается положительным скалярным произведением.

Типичные ошибки

Считать произведение вектором. Иногда точку между буквами принимают за знак построения нового направленного отрезка, но результатом является число. Проверьте себя: в ответе не должно быть координат и направления.

Забывать cos φ. Простое произведение длин даёт правильный результат только при угле 0°, а в общем случае направление тоже влияет на ответ. Перед вычислениями запишите полную формулу |a||b|cos φ.

Ошибаться со знаками координат. При отрицательной координате произведение может стать отрицательным, поэтому нельзя заменять (−3)·2 на 6. Выписывайте каждое произведение отдельно, а затем проверяйте знак суммы.

Считать нулевое произведение доказательством для любых векторов. У нулевого вектора направление и угол не определены, поэтому условие перпендикулярности формулируют для ненулевых векторов. Сначала убедитесь, что длины обоих векторов не равны нулю.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны координаты и длина вектора, действия с векторами и значения косинуса углов. Эти знания позволяют выбрать подходящую формулу и выполнить вычисления без лишних построений.

Скалярное произведение помогает находить углы между векторами и проверять перпендикулярность векторов или прямых. Поэтому оно используется при решении задач на прямоугольные фигуры и взаимное положение объектов.

Координатная формула связывает геометрию с аналитическим методом. Геометрическое свойство переводится в вычисление по числам, что особенно удобно для задач на плоскости.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a·b = |a||b|cos φ.
• В координатах a·b = x₁x₂ + y₁y₂.
• a·a = |a|².
• a·b = b·a.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.