З Задачи к главе II

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их обозначают так: a ∥ b. Если прямые не пересекаются, но не принадлежат одной плоскости, они не параллельны, а скрещиваются.

Прямая и плоскость параллельны, если не имеют общих точек: a ∥ α. При этом прямая может целиком лежать в плоскости, но такой случай рассматривают отдельно. Различие помогает правильно применять признаки и не путать отсутствие пересечения с принадлежностью.

Параллельные плоскости — это плоскости, которые не имеют общих точек. Запись α ∥ β показывает, что ни одна точка одной плоскости не принадлежит другой. Такое положение часто встречается у противоположных граней призмы или параллелепипеда.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Иными словами, двух согласованных направлений достаточно, чтобы установить параллельность плоскостей.

Как это устроено

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Пересекающиеся прямые имеют общую точку, а параллельные не имеют общей точки, но лежат в одной плоскости. Если общего положения нет и одну плоскость для обеих прямых построить нельзя, прямые являются скрещивающимися.

При проверке прямой и плоскости сначала выясняют, есть ли у них общая точка. Если её нет, прямая параллельна плоскости; если все точки прямой принадлежат плоскости, она лежит в плоскости. Поэтому одного взгляда на плоское изображение недостаточно: нужно использовать принадлежность прямых и плоскостей, заданную условием.

Чтобы доказать параллельность прямой a и плоскости α, ищут в α прямую b, параллельную a. Если a не лежит в α, то прямые a и b задают направление, которое плоскость α уже содержит. Значит, a не может пересечь α в одной точке и потому параллельна ей.

Для параллельности двух плоскостей одной пары параллельных прямых недостаточно: плоскости могут пересекаться и всё же содержать такие направления. Если же в первой плоскости есть две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым второй, то оба направления совпадают. Это исключает пересечение плоскостей и позволяет применить признак.

В многогранниках сначала устанавливают, какие рёбра принадлежат одной грани, а затем используют параллельность противоположных рёбер или граней. При сечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью обе линии пересечения имеют общее направление. Поэтому они параллельны, что позволяет строить и исследовать сечения без лишних вычислений.

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: сначала определите объекты, затем проверьте общие точки и принадлежность одной плоскости. Если требуется доказательство, ищите прямые, к которым можно применить соответствующий признак.

Особенно полезно отмечать не только факт параллельности, но и основание вывода. Так решение становится проверяемым: видно, какая прямая лежит в плоскости и какие пары прямых пересекаются.

Разбор задач

1. Рёбра тетраэдра

Условие. В тетраэдре ABCD определить, какие пары рёбер пересекаются, параллельны или скрещиваются. Нужно классифицировать все пары рёбер по их взаимному расположению.

1. Рёбра с общей вершиной пересекаются: например, AB и AC имеют общую точку A.
2. Рёбра без общей вершины — это AB и CD, AC и BD, AD и BC. Проверим одну пару, AB и CD: они не лежат в одной грани тетраэдра, а значит, не принадлежат одной плоскости.
3. Такие пары не могут быть параллельными, поэтому являются скрещивающимися. В тетраэдре параллельных рёбер нет.

Ответ: рёбра с общей вершиной пересекаются, пары противоположных рёбер скрещиваются, параллельных пар нет.

2. Ребро призмы и плоскость

Условие. В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ доказать, что ребро AA₁ параллельно плоскости BCC₁B₁. Искомая плоскость содержит боковое ребро BB₁.

1. В призме боковые рёбра параллельны, поэтому AA₁ ∥ BB₁.
2. Прямая BB₁ лежит в плоскости BCC₁B₁.
3. Ребро AA₁ не лежит в этой плоскости, так как вершина A не принадлежит боковой грани BCC₁B₁.
4. По признаку параллельности прямой и плоскости получаем AA₁ ∥ (BCC₁B₁).

Ответ: AA₁ параллельно плоскости BCC₁B₁.

3. Параллельные плоскости и сечение

Условие. Плоскость α задана пересекающимися прямыми a и b, а плоскость β — пересекающимися прямыми c и d. Известно, что a ∥ c и b ∥ d. Другая плоскость γ пересекает α и β по прямым m и n.

1. Прямые a и b пересекаются в α, а c и d пересекаются в β.
2. Соответствующие прямые параллельны: a ∥ c и b ∥ d. По признаку параллельности плоскостей α ∥ β.
3. Плоскость γ пересекает обе параллельные плоскости. Поэтому линии m = α ∩ γ и n = β ∩ γ параллельны.

Ответ: α ∥ β, а линии их пересечения с γ параллельны: m ∥ n.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Её допускают, забывая о скрещивающихся прямых, которые не лежат в одной плоскости. Проверьте, можно ли разместить обе прямые в одной плоскости.

Ошибка: объявлять прямую параллельной плоскости, потому что на чертеже она не пересекает видимую часть плоскости. Изображение может скрывать пространственное пересечение. Найдите прямую в плоскости, параллельную данной, и убедитесь, что исходная прямая не лежит в плоскости.

Ошибка: доказывать параллельность плоскостей одной парой параллельных прямых. Одного направления недостаточно: пересекающиеся плоскости тоже могут содержать такие прямые. Ищите две пары пересекающихся соответственно параллельных прямых.

Ошибка: путать параллельность прямой плоскости с её принадлежностью плоскости. В первом случае общих точек нет, во втором каждая точка прямой принадлежит плоскости. Проверьте это по условию, а не только по рисунку.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны аксиомы стереометрии, знания о принадлежности точек, прямых и плоскостей, а также признаки параллельности из планиметрии. Эти умения становятся основой для доказательств в пространстве.

Тема связана с перпендикулярностью прямых и плоскостей, сечениями многогранников и построением пространственных чертежей. Умение находить параллельные направления помогает сокращать доказательства и точнее представлять фигуру.

Что запомнить

• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Прямая, параллельная прямой плоскости и не лежащая в этой плоскости, параллельна плоскости.
• Для признака параллельности плоскостей нужны две пары пересекающихся соответственно параллельных прямых.
• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Параллельные плоскости, пересечённые третьей, дают параллельные линии пересечения.