§ 12. Расстояние между фигурами

Определения и обозначения

Расстояние от точки до фигуры — длина кратчайшего отрезка, соединяющего эту точку с точкой фигуры. Для прямой или плоскости таким отрезком служит перпендикуляр, если его основание принадлежит фигуре. Это определение помогает не спутать расстояние с длиной наклонного отрезка, который обычно длиннее.

Расстояние между фигурами — наименьшее из расстояний между точками, принадлежащими этим фигурам. Например, чтобы найти расстояние между прямой и точкой, нужно сравнить возможные отрезки и выбрать кратчайший. Такое определение подходит и для фигур сложной формы.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра, то есть отрезка, соединяющего прямые под прямым углом к каждой из них. Оно позволяет измерить промежуток между прямыми, которые не пересекаются и не параллельны. Одного перпендикулярного положения к одной прямой недостаточно.

Расстояние между параллельными прямыми или плоскостями — длина отрезка перпендикуляра, соединяющего их. Для параллельных плоскостей такой отрезок перпендикулярен обеим плоскостям. Это определение удобно тем, что расстояние не зависит от места, где выбран перпендикуляр.

Как это устроено

Между двумя фигурами можно провести множество соединяющих отрезков, но их длины могут различаться. Расстоянием называют наименьшую из этих длин, потому что она показывает, насколько близко фигуры подходят друг к другу. Если взять отрезок наугад, он может оказаться длиннее кратчайшего и не даст правильного ответа.

Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от точки до прямой или плоскости. Если соединить исходную точку с другим местом прямой или плоскости, получится наклонная; вместе с перпендикуляром и отрезком между основаниями она образует прямоугольный треугольник. Наклонная является гипотенузой, поэтому по теореме Пифагора она длиннее перпендикуляра. Основание перпендикуляра должно попасть на рассматриваемую фигуру, иначе ближайшей точкой может оказаться её край.

У скрещивающихся прямых общий перпендикуляр существует, потому что можно провести плоскость через одну прямую, параллельную другой, а затем опустить перпендикуляр между этими параллельными прямыми. Полученный отрезок соединяет исходные прямые и перпендикулярен каждой из них. Любой другой соединяющий их отрезок имеет наклонную составляющую и потому не короче. Значит, длина общего перпендикуляра и есть расстояние.

У параллельных прямых перпендикуляр, проведённый от одной прямой к другой, будет перпендикулярен обеим. Расстояние между прямыми постоянно: если сдвигать такой отрезок вдоль прямых, его длина не изменится. Между параллельными плоскостями действует тот же принцип: любой отрезок, перпендикулярный обеим плоскостям и соединяющий их, имеет одну и ту же длину. Поэтому достаточно построить один подходящий перпендикуляр.

Вычисление расстояния часто сводится к знакомой задаче на прямоугольный треугольник. Сначала нужно геометрически обосновать, какой отрезок является перпендикуляром, а затем определить, какие стороны треугольника известны. Если известны два катета, применяют формулу c² = a² + b²; если известна гипотенуза и один катет, находят другой из равенства c² − a² = b². Такой порядок отделяет построение нужного расстояния от его вычисления.

Расстояния между точками, прямыми и плоскостями

Пользуйся таблицей как планом построения: сначала определи, какие фигуры заданы, затем выбери нужный отрезок. После этого проверь его концы и перпендикулярность. Только доказанный кратчайший отрезок можно подставлять в вычисления.

Разбор задач

Из точки A вне плоскости проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Известно, что AH = 5 см, а проекция наклонной HB = 12 см. Найдём расстояние от A до плоскости и длину наклонной. Отрезок AH перпендикулярен плоскости, а значит, и отрезку HB, лежащему в плоскости.

1. По определению расстояние от A до плоскости равно AH, потому что H принадлежит плоскости.
2. Треугольник AHB прямоугольный с катетами AH = 5 см и HB = 12 см.
3. По теореме Пифагора AB² = 5² + 12² = 169, поэтому AB = 13 см.

Ответ: расстояние от точки до плоскости — 5 см, длина наклонной — 13 см. Наклонная длиннее перпендикуляра, что служит проверкой результата.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 6 см и 8 см. Найдём расстояние между параллельными рёбрами AB и DC, если они являются противоположными сторонами прямоугольного основания ABCD. Рёбра параллельны, поэтому расстояние задаёт перпендикуляр между ними в плоскости основания.

1. Проведём AD. В прямоугольнике AD перпендикулярен AB и DC, а его концы лежат на этих рёбрах.
2. Значит, AD — общий перпендикуляр, и расстояние между рёбрами равно AD.
3. Если AB = 6 см, а AD = 8 см, то искомое расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см. Высота параллелепипеда здесь не влияет на ответ, потому что общий перпендикуляр уже лежит в основании.

В тетраэдре заданы рёбра AB = 4, AC = 3 и AD = 4, причём они попарно перпендикулярны и имеют общую вершину A. Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами AB и CD. Выберем координаты A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0; 4).

1. Прямая AB направлена вдоль оси x, а CD лежит в плоскости yz, поэтому отрезок от точки AB к точке CD перпендикулярен AB, если его концы имеют одинаковую координату x.
2. На CD точка с координатами (0; 48/25; 36/25) задаёт кратчайшее расстояние до начала координат: радиус-вектор этой точки перпендикулярен CD, направленному как (0; −3; 4).
3. Этот отрезок также перпендикулярен AB, так как у него нет составляющей вдоль оси x. Его длина равна √((48/25)² + (36/25)²) = 12/5.

Ответ: расстояние между AB и CD равно 12/5. Построение показывает, что отрезок общего перпендикуляра может располагаться в пространстве, а не совпадать с ребром тетраэдра.

Типичные ошибки

За расстояние между фигурами принимают длину любого отрезка, соединяющего их. Это происходит, когда забывают, что определение требует наименьшей длины. Проверь себя: можно ли провести другой отрезок короче; если да, выбранный отрезок не является расстоянием.

Расстоянием от точки до плоскости называют наклонную. Обычно так ошибаются, если не проверяют угол между отрезком и плоскостью. Проверь, образует ли отрезок прямой угол с плоскостью и лежит ли его основание в ней; только тогда это перпендикуляр.

Расстояние между скрещивающимися прямыми иногда находят по отрезку между случайными точками на прямых. Его длина может быть больше кратчайшей, если отрезок не перпендикулярен обеим прямым. Проверь расположение концов и оба прямых угла: без любого из этих условий общий перпендикуляр не доказан.

Считают, что общий перпендикуляр обязательно лежит в одной из заданных плоскостей. Такое ожидание связано с привычными чертежами, но в пространстве кратчайший отрезок может проходить вне плоскостей, содержащих прямые. Проверяй не принадлежность отрезка плоскости, а то, что его концы лежат на прямых и он перпендикулярен каждой из них.

Связь с другими темами

Для работы с расстояниями нужны знания о перпендикулярности прямых и плоскостей, свойствах перпендикуляра и наклонной, а также теорема Пифагора. Эти понятия помогают сначала построить кратчайший отрезок, а затем вычислить его длину. Если проекция наклонной известна, она вместе с перпендикуляром образует прямоугольный треугольник.

Расстояния между прямыми и плоскостями используются в задачах на многогранники, где нужно определить взаимное положение рёбер и граней. Позже те же задачи можно решать координатным методом: задавать фигурам координаты и находить расстояние вычислениями. Геометрическое построение при этом помогает понять, какой именно отрезок требуется найти.

Что запомнить

• Расстояние между фигурами — наименьшее расстояние между их точками.
• Кратчайшее расстояние от точки до прямой или плоскости задаёт перпендикуляр.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют общим перпендикуляром.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
• Расстояние между параллельными плоскостями постоянно и измеряется перпендикуляром к ним.
• Вычисляя расстояние, сначала нужно обосновать, какой именно отрезок является кратчайшим.