З Задачи к главе II

Определения и обозначения

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих эти точки. Точки называют вершинами и обозначают заглавными буквами, например A, B и C, а треугольник записывают как ΔABC. Его стороны — отрезки AB, BC и CA; буквы в названии задают порядок вершин и помогают не перепутать стороны.

Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением. При таком совмещении каждой вершине одного треугольника соответствует определённая вершина другого, а соответствующие стороны и углы равны. Это понятие нужно, чтобы после доказательства равенства находить неизвестные элементы одной фигуры через известные элементы другой.

Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Значит, он делит эту сторону на два равных отрезка. Определение удобно применять, когда в задаче появляются два треугольника по разные стороны медианы: у них могут оказаться равными части одной стороны.

Биссектриса делит угол треугольника на два равных угла, а высота проводится из вершины перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению. Биссектриса помогает получить равные углы, а высота — прямые углы. Эти свойства дают дополнительные данные, которые можно использовать при сравнении треугольников.

Как это устроено

Перед доказательством равенства треугольников нужно установить, какие вершины соответствуют друг другу. Сначала сравнивают отмеченные или названные в условии стороны и углы, а затем проверяют, при каких вершинах они расположены. Например, если сторона AB соответствует стороне DE, а сторона AC — стороне DF, то общей для этих сторон вершине A соответствует D. Правильное соответствие важно потому, что именно оно задаёт порядок букв в записи равенства.

Первый признак применяют, когда равны две стороны и угол между ними. Этот угол фиксирует, как именно стороны расположены друг относительно друга, поэтому треугольники с такими одинаковыми данными можно совместить. Если известны AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D, то равенство треугольников следует, когда ∠A и ∠D заключены между указанными сторонами. В доказательстве нужно отдельно назвать эти три равные элемента и показать соответствие вершин.

Второй признак подходит, если равны одна сторона и два угла, прилежащих к ней. Такая сторона задаёт масштаб фигуры, а два угла — её форму и направление сторон относительно основания. Например, равенства AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E достаточно для равенства треугольников ABC и DEF при соответствующем порядке вершин. Важно, чтобы оба угла находились у концов именно этой стороны.

Третий признак работает, когда равны все три стороны. Стороны определяют размеры и форму треугольника, поэтому второй треугольник с такими же сторонами можно совместить с первым. Если AB = DE, BC = EF и CA = FD, то треугольники равны по третьему признаку. Здесь не требуется заранее знать углы: их равенство будет следствием равенства треугольников.

После того как равенство доказано, можно приравнивать соответствующие стороны и углы. Сначала проверь запись треугольников: порядок вершин в ней показывает, какие элементы нужно сравнивать. Затем используй нужное равенство для вычисления неизвестного; например, если соответствующие углы равны, то найденное значение одного угла подходит и для другого. До доказательства нельзя ссылаться на равенство этих элементов как на установленный факт.

Признаки равенства треугольников

Пользуйся таблицей как проверкой: выпиши известные равные элементы и сопоставь их с нужной строкой. Проверь не только количество элементов, но и их расположение: угол должен быть между сторонами, а во втором признаке оба угла — прилежащими к выбранной стороне. Если набор подходит, назови признак и запиши соответствие вершин.

Разбор задач

Задача 1. Две стороны и угол между ними

В двух треугольниках равны две соответствующие стороны и угол между ними. Нужно доказать равенство треугольников. Обозначим их ΔABC и ΔDEF, причём AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D; угол A заключён между AB и AC, а угол D — между DE и DF. Сопоставление вершин получается из того, что обе равные стороны сходятся в вершинах A и D.

1. Сопоставим A и D, поскольку это вершины равных углов между заданными сторонами.
2. Сторонам AB и AC соответствуют DE и DF, поэтому B соответствует E, а C — F.
3. У нас равны две соответствующие стороны и угол между ними. По первому признаку ΔABC = ΔDEF.

Ответ: треугольники равны по первому признаку. Важно, что угол действительно заключён между указанными сторонами: без этой проверки ссылаться на признак нельзя. После доказательства можно также утверждать равенство остальных соответствующих сторон и углов.

Задача 2. Медиана в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны, а AM — медиана к основанию BC. Докажем, что AM — биссектриса угла при вершине A. Поскольку M — середина BC, отрезки BM и MC равны. Рассмотрим треугольники ABM и ACM: у них есть две пары равных сторон и общая сторона AM.

1. По свойству равнобедренного треугольника AB = AC.
2. По определению медианы BM = MC, а AM = AM, так как это одна и та же сторона обоих треугольников.
3. Три стороны треугольников ABM и ACM попарно равны. По третьему признаку они равны, поэтому соответствующие углы BAM и MAC равны.

Ответ: AM делит угол BAC пополам, следовательно, является его биссектрисой. Здесь первый признак применять не нужно: у нас непосредственно известны три равные пары сторон, поэтому подходит третий признак. Равенство углов можно использовать только после доказательства равенства треугольников.

Задача 3. Неизвестный угол

Даны два треугольника с равными соответствующими сторонами, а один угол второго треугольника известен. Нужно найти соответствующий угол первого. Пусть ΔABC и ΔDEF имеют равные стороны AB = DE, BC = EF и AC = DF, а ∠E = 48°. Сначала нужно установить равенство треугольников, а не переносить значение угла только по виду чертежа.

1. Сопоставим стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF. По их расположению вершине A соответствует D, B — E, C — F.
2. Все три пары соответствующих сторон равны, поэтому ΔABC = ΔDEF по третьему признаку.
3. Углы B и E — соответствующие. Следовательно, ∠B = ∠E = 48°.

Ответ: неизвестный угол равен 48°. Если в условии соответствующим дан другой угол, нужно сначала определить его положение по записи равенства треугольников, а затем перенести его значение. Главная часть решения — доказать равенство фигур по всем трём сторонам.

Типичные ошибки

Ошибка: записать равенство треугольников, не проверив соответствие вершин. Из-за одинакового вида букв легко перепутать, какая вершина соединяет отмеченные стороны. Проверь себя: равные стороны должны оказаться на одинаковых местах в записи, а общие для них вершины — соответствовать друг другу.

Ошибка: применить первый признак, когда угол не заключён между двумя равными сторонами. Ученик может заметить две стороны и любой известный угол и решить, что данных достаточно. Проверь, сходятся ли обе стороны в вершине этого угла; если нет, первый признак использовать нельзя.

Ошибка: считать, что равенства одной стороны и одного угла хватает для равенства треугольников. Такие данные не определяют форму и размеры всей фигуры, поэтому другой треугольник может им соответствовать, но отличаться. Перед выводом выпиши полный набор данных и сопоставь его с одним из трёх признаков.

Ошибка: объявить соответствующие стороны или углы равными до доказательства равенства треугольников. Иногда они кажутся равными на чертеже, но рисунок может быть выполнен неточно. Сначала укажи признак и докажи равенство треугольников, а уже затем используй равенство соответствующих элементов.

Связь с другими темами

Для разбора задач полезно знать виды углов, а также свойства смежных и вертикальных углов: они помогают находить равные углы в разных частях чертежа. При решении задач о равнобедренном треугольнике пригодятся его свойства, в частности равенство боковых сторон и углов при основании. Эти сведения часто дают недостающие элементы для одного из признаков.

Признаки равенства — способ доказывать геометрические свойства, а не только получать ответ в конкретной задаче. С их помощью можно исследовать треугольники, образованные медианой, биссектрисой или высотой, и устанавливать равенство отрезков и углов. Поэтому важно видеть на чертеже не отдельные линии, а фигуры, которые они образуют.

Что запомнить

• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Для доказательства равенства достаточно выполнить один из трёх признаков.
• В первом признаке угол должен быть заключён между равными сторонами.
• Во втором признаке сторона должна быть общей для двух равных прилежащих углов.
• После доказательства равенства можно приравнивать соответствующие элементы.
• Порядок вершин в записи равенства показывает их соответствие.