114. Ломаная

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из отрезков, соединённых последовательно: конец каждого предыдущего отрезка совпадает с началом следующего. Например, если отрезок AB соединён с BC, а BC — с CD, получается ломаная ABCD. Это определение помогает отличить ломаную от отдельных отрезков, просто нарисованных рядом. Чтобы распознать фигуру, нужно проследить, можно ли пройти по её отрезкам один за другим без разрыва.

Звенья ломаной — отрезки, из которых она составлена. Звено обозначают по его концам: например, AB — это отрезок с концами A и B, а в ломаной ABCD звеньями являются AB, BC и CD. Буквы записывают в порядке соединения отрезков, поэтому обозначение показывает путь по ломаной. Это удобно, когда нужно перечислить её части или узнать, какие именно отрезки входят в фигуру.

Вершины ломаной — общие концы соседних звеньев. У ломаной ABCD точка B соединяет звенья AB и BC, а точка C — звенья BC и CD; точки A и D являются концами незамкнутой ломаной. Так можно различать точки соединения отрезков и точки, где путь начинается и заканчивается. Это помогает не пропустить элементы при описании фигуры.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Если ломаная состоит из звеньев AB, BC и CD, то её длина равна AB + BC + CD, где каждое обозначение означает длину соответствующего отрезка. Складывают именно все звенья, потому что длина ломаной учитывает весь путь по её отрезкам. Такое правило позволяет найти длину, даже если фигура меняет направление несколько раз.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную из нескольких отрезков, сначала выбирают точку начала и проводят первый отрезок. Затем каждый следующий отрезок начинают в конце предыдущего, иначе между ними появится разрыв и по фигуре нельзя будет пройти непрерывно. Соседние звенья должны иметь общий конец именно потому, что ломаная представляет собой единый путь, составленный из отдельных прямых частей. Направление при этом может меняться, а длина каждого звена остаётся длиной отрезка.

Перечислять звенья удобнее в том порядке, в каком по ним проходит ломаная: от начала до конца. Например, в ABCD сначала идёт AB, затем BC, затем CD; если начать перечисление с середины, легко забыть крайний отрезок. Вершины находят тем же способом: записывают буквы точек по ходу пути и проверяют, какие из них являются общими концами соседних звеньев. У незамкнутой ломаной первая и последняя буквы обозначают её концы, а точки между ними — места соединения звеньев.

Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев, потому что её путь состоит из этих частей, пройденных одна за другой. Для ломаной ABCD запись будет такой: L = AB + BC + CD, где L — длина всей ломаной. Если звеньев больше, к сумме добавляют длину каждого следующего отрезка, не пропуская ни одного. Перед вычислением полезно сверить список с буквенным обозначением ломаной, а в ответе указать единицу длины.

Незамкнутая ломаная имеет два свободных конца: начало первого звена и конец последнего. Ломаная становится замкнутой, когда последний конец соединён с началом первого, поэтому по её звеньям можно вернуться в исходную точку. Само по себе сходство с замкнутой фигурой этого не доказывает: даже маленький промежуток означает, что соединения нет. Условие проверяют по концам отрезков, а не по тому, насколько близко они расположены.

Проверяя, является ли заданная фигура ломаной, проследите её от одного конца к другому. Каждый отрезок, кроме первого и последнего у незамкнутой фигуры, должен соединяться с соседними концами; разрыв нарушает последовательность. Если предполагается замкнутая ломаная, дополнительно проверьте, что последний отрезок приходит в начало первого. Такой порядок проверки исключает ошибку, когда несвязанные отрезки принимают за одну фигуру.

Элементы ломаной и их описание

Пользуйтесь таблицей последовательно: сначала определите звенья и точки их соединения, затем выясните, где находятся концы. Для вычисления длины составьте список всех звеньев и сложите их длины. Если крайние точки соединены, проверьте отдельно, замкнута ли ломаная.

Разбор задач

Задача 1

Ломаная ABCD составлена из отрезков AB, BC и CD. Назовите её звенья и вершины. Чтобы ответить, нужно не угадывать по числу букв, а проследить путь от A к D и отметить, какие отрезки соединяются последовательно.

1. Записываем звенья в порядке движения: сначала AB, затем BC, затем CD.
2. Ищем общие концы соседних звеньев: у AB и BC общая точка B, у BC и CD — точка C.
3. Учитываем крайние точки: A начинает ломаную, а D завершает её; все точки A, B, C и D являются её вершинами, при этом B и C соединяют соседние звенья.

Ответ: звенья — AB, BC и CD; вершины — A, B, C и D. Точки B и C являются внутренними вершинами-соединениями, A и D — концами незамкнутой ломаной. Такое уточнение показывает, что слово «вершина» относится не только к точкам внутри пути.

Задача 2

Длины звеньев ломаной равны 3 см, 5 см и 4 см. Найдите длину ломаной. Здесь не требуется знать, под каким углом расположены отрезки: для длины важны только длины всех звеньев. Сначала проверяем, что учтены все три звена, а затем складываем данные величины.

1. Записываем правило: длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
2. Подставляем значения: L = 3 + 5 + 4.
3. Вычисляем сумму: 3 + 5 = 8, 8 + 4 = 12 см.

Ответ: длина ломаной равна 12 см. Сложение отражает весь путь по трём отрезкам, а не прямое расстояние от начала до конца. Для самопроверки можно пересчитать звенья и убедиться, что каждое число из условия вошло в сумму один раз.

Задача 3

Из отрезков AB, BC, CD и DA составлена фигура. Определите, является ли она замкнутой ломаной, и найдите её длину, если длины звеньев известны. Буквы показывают порядок соединения: после AB идут BC и CD, а DA возвращает путь к A. Однако перед выводом о замкнутости нужно проверить именно совпадение концов, а не полагаться на внешний вид фигуры.

1. Проверяем последовательность: AB соединён с BC в точке B, BC с CD — в C, CD с DA — в D.
2. Проверяем замыкание: последнее звено DA заканчивается в A, где начинается первое звено AB; значит, путь возвращается в начало.
3. Складываем длины четырёх звеньев: L = AB + BC + CD + DA. Подставляем известные значения и выполняем сложение.

Ответ: фигура является замкнутой ломаной, если все указанные соединения действительно выполнены; её длина равна сумме длин AB, BC, CD и DA. Числовой результат зависит от заданных длин, поэтому без них его вычислить нельзя. Такая запись позволяет найти значение сразу после подстановки данных из условия.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вершиной только конец отрезка, который свободно остаётся на краю рисунка. Так думают, потому что в обычном разговоре вершиной часто называют угловую точку, а места соединения отрезков могут не замечать. Но вершины ломаной включают и точки соединения соседних звеньев. Проверьте себя: у каждого звена найдите общие концы с соседями и отметьте их как вершины.

При перечислении ломаной иногда пропускают первое или последнее звено, особенно если начинают запись с середины. Чтобы этого не случилось, двигайтесь от одного конца фигуры к другому и записывайте каждый отрезок сразу после прохождения. Затем сравните число записанных звеньев с числом отрезков на рисунке или в условии. Порядок букв должен соответствовать порядку соединения.

Фигуру могут назвать замкнутой, хотя её отрезки лишь почти сходятся. Причина ошибки — зрительное впечатление: маленький промежуток трудно заметить, но он означает отсутствие соединения. Для проверки сравните конец последнего звена с началом первого: эти точки должны совпасть. Если между ними остаётся промежуток, ломаная незамкнута.

Ещё одна ошибка — принимать расстояние между концами ломаной за её длину. Такое расстояние показывает только прямой отрезок между двумя точками, а не весь путь с поворотами. Чтобы проверить вычисление, перечислите звенья и сложите их длины по одному разу. Если в сумме есть только одно прямое расстояние между крайними точками, правило применено неверно.

Связь с другими темами

Для изучения ломаной нужны знания об отрезке: нужно понимать, где находятся его концы и как измеряется его длина. Эти сведения позволяют обозначать звенья буквами и складывать их длины в одинаковых единицах измерения. Ломаная, в свою очередь, помогает описывать более сложные фигуры, составленные из прямых частей. В частности, граница многоугольника образована замкнутой ломаной: её звенья идут по контуру и возвращаются к исходной точке.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями.
• Общие концы соседних звеньев называются вершинами.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
• У замкнутой ломаной конец последнего звена соединён с началом первого.