109. Некоторые формулы, связанные с правильными многоугольниками

Определения и обозначения

Правильный n-угольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны; число сторон обозначают n. Слово «выпуклый» означает, что отрезок между любыми двумя точками фигуры целиком лежит внутри неё или на её границе. Равенство сторон и углов позволяет разбить фигуру на одинаковые части и применять к ним одни и те же вычисления. Например, у правильного шестиугольника n = 6.

Радиус описанной окружности R — расстояние от центра правильного многоугольника до его вершины. Все вершины лежат на этой окружности, поэтому расстояния от центра до них одинаковы. Радиус R нужен, чтобы связывать размеры многоугольника с окружностью вокруг него. В формулах он выступает как гипотенуза вспомогательного прямоугольного треугольника.

Радиус вписанной окружности r — расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны; его также называют апофемой. Радиус к стороне проводят перпендикулярно, поэтому r показывает высоту треугольника с основанием на этой стороне. Вписанная окружность касается всех сторон, и расстояния от центра до них равны. Апофема понадобится при вычислении площади.

Сторона правильного n-угольника aₙ — длина одной из его равных сторон. Индекс n напоминает, что длина зависит от числа сторон фигуры. Зная сторону, можно найти периметр умножением на n. Вместе с апофемой сторона позволяет вычислить площадь.

Как это устроено

Проведём отрезки из центра многоугольника ко всем его вершинам. Получится n равнобедренных треугольников: их боковые стороны — радиусы R, а основания — стороны многоугольника. Они равны, потому что у каждого одинаковые боковые стороны и равные центральные углы. Полный оборот вокруг центра составляет 360°, поэтому угол каждого треугольника равен 360°/n.

Опустим из центра перпендикуляр на одну сторону. В равнобедренном треугольнике высота к основанию одновременно делит основание пополам и угол при вершине пополам. Так появляется прямоугольный треугольник с гипотенузой R, катетами r и aₙ/2, а угол при центре равен половине 360°/n, то есть 180°/n. По определению синуса отношение противолежащего катета к гипотенузе равно sin(180°/n), поэтому aₙ/2 = R sin(180°/n). Умножив на 2, получаем aₙ = 2R sin(180°/n).

Апофема r прилежит к углу 180°/n, а R остаётся гипотенузой того же прямоугольного треугольника. Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значит r/R = cos(180°/n). Отсюда r = R cos(180°/n). Одна и та же вспомогательная фигура даёт обе формулы, но синус связан с половиной стороны, а косинус — с апофемой.

Площадь многоугольника складывается из площадей n треугольников с основанием aₙ и высотой r. Площадь одного такого треугольника равна aₙr/2, поэтому S = naₙr/2. Поскольку периметр P = naₙ, то же выражение можно записать короче: S = Pr/2. Множитель 1/2 появляется из формулы площади треугольника, а не из особенностей многоугольника.

Подставим в S = naₙr/2 выражения aₙ = 2R sin(180°/n) и r = R cos(180°/n). После сокращения двойки получаем S = nR² sin(180°/n) cos(180°/n). По формуле двойного угла 2 sin x cos x = sin 2x это превращается в S = nR² sin(360°/n)/2. Здесь используется полный центральный угол 360°/n; в формулах стороны и апофемы нужен его половинный угол 180°/n.

Формулы правильного n-угольника

Сначала выбери строку с величиной, которую требуется найти, и проверь, какие данные уже известны. Для площади можно использовать периметр и апофему либо число сторон и радиус описанной окружности. Если значение не дано напрямую, найди его по формуле через R или по геометрии задачи.

Разбор задач

Сторона правильного шестиугольника

Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см. Здесь известен радиус описанной окружности, а число сторон n = 6. Значит, удобно применить формулу стороны через R. Для шестиугольника половина центрального угла равна 180°/6 = 30°.

1. Запишем формулу: aₙ = 2R sin(180°/n).
2. Подставим данные: a₆ = 2 · 5 · sin 30°.
3. Так как sin 30° = 1/2, получим a₆ = 10 · 1/2 = 5 см.

Ответ: 5 см. Результат также можно проверить геометрически: шесть треугольников при центре равностороннего правильного шестиугольника имеют углы по 60°, поэтому сторона равна радиусу описанной окружности.

Радиус вписанной окружности и площадь восьмиугольника

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника равен 4 см. Сначала найдём апофему, затем площадь. Для этого восьмиугольника 180°/8 = 22,5°, а полный центральный угол равен 360°/8 = 45°. Калькулятор при вычислении тригонометрических значений нужно поставить в режим градусов.

1. Используем формулу r = R cos(180°/n): r = 4 cos 22,5° ≈ 3,70 см.
2. Для площади через R подставим n = 8 и R = 4: S = 8 · 4² · sin 45°/2.
3. Упростим: S = 64 · sin 45° ≈ 64 · 0,7071 ≈ 45,25 см².

Ответ: r ≈ 3,70 см, S ≈ 45,25 см². Округление выполнено до сотых; промежуточное значение апофемы не требуется подставлять в формулу площади, поэтому погрешность округления не накапливается.

Радиусы правильного шестиугольника по площади и периметру

Площадь правильного n-угольника равна 60 см², его периметр — 30 см. Найдите радиус вписанной окружности, а затем сторону и радиус описанной окружности, если n = 6. Начнём с формулы площади через периметр: она сразу связывает известные величины с апофемой. Затем используем периметр для нахождения стороны.

1. Из S = Pr/2 выразим r: r = 2S/P = 2 · 60/30 = 4 см.
2. Сторона равна периметру, делённому на число сторон: a₆ = P/n = 30/6 = 5 см.
3. В прямоугольном треугольнике R — гипотенуза, а r и a₆/2 — катеты. По теореме Пифагора R² = r² + (a₆/2)² = 4² + 2,5² = 22,25.
4. Следовательно, R = √22,25 ≈ 4,72 см.

Ответ: r = 4 см, a₆ = 5 см, R = √22,25 см ≈ 4,72 см. Проверка формулы площади даёт 30 · 4/2 = 60 см², как и указано в условии.

Типичные ошибки

Ошибка: подставлять 360°/n вместо 180°/n в формулу стороны или апофемы. Так поступают, когда путают угол целого треугольника у центра с углом половины треугольника после проведения высоты. Проверь, какой прямоугольный треугольник использован: его угол равен половине центрального, то есть 180°/n. Угол 360°/n подходит для площади через R.

Ошибка: считать R и r одинаковыми радиусами. R соединяет центр с вершиной, а r — с точкой на стороне; смешение часто возникает из-за общего начала отрезков в центре. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — R, а катет — r, поэтому R больше r. Проверь также, что конец радиуса R находится на вершине, а конец r — на стороне.

Ошибка: забывать множитель 1/2 в формулах площади. Он появляется потому, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту; при записи площади через периметр множитель сохраняется. Если получить S = Pr без деления на 2, площадь окажется вдвое больше. Быстрая проверка — подставить основание и высоту одного треугольника.

Ошибка: вводить градусную величину в калькулятор, настроенный на радианы, или наоборот. Из-за этого синус и косинус дадут неверное числовое значение, хотя сама формула записана правильно. Перед вычислением посмотри на обозначение режима DEG или RAD. Ещё один способ проверки — вычислить sin 30°: в режиме градусов ответ должен быть 1/2.

Связь с другими темами

Для вывода формул нужны свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников, а также определения синуса и косинуса острого угла. Высота равнобедренного треугольника делит его основание и угол пополам, а тригонометрические отношения связывают стороны полученного прямоугольного треугольника. Формула площади опирается на умение находить площадь треугольника и периметр многоугольника. Позднее эти соотношения используют в задачах на длину окружности и площадь круга, в том числе для приближённых вычислений с помощью правильных многоугольников.

Что запомнить

• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• aₙ = 2R sin(180°/n).
• r = R cos(180°/n).
• Периметр правильного n-угольника: P = naₙ.
• S = naₙr/2 = Pr/2.
• Через радиус описанной окружности: S = nR² sin(360°/n)/2.