"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Площадь четырёхугольника показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Её можно найти, разбив четырёхугольник диагональю на два треугольника и сложив их площади. Для выпуклого четырёхугольника есть и удобная общая формула: половина произведения диагоналей, умноженная на синус угла между ними. Поэтому для вычисления нужны не только длины диагоналей, но и угол, под которым они пересекаются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь четырёхугольника — величина, характеризующая часть плоскости, ограниченную этой фигурой. Её можно находить, разбивая четырёхугольник на треугольники и складывая их площади. Такой подход помогает перейти от незнакомой фигуры к уже изученным формулам.
Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. У четырёхугольника две диагонали; обозначим их длины d₁ и d₂. Эти обозначения нужны, чтобы записывать формулу и подставлять в неё известные значения.
Угол между диагоналями — угол, образованный прямыми, содержащими диагонали. Обозначим его α; для формулы площади берут синус этого угла, sin α. Нужно различать сам угол и его синус: в вычисление входит именно значение тригонометрической функции.
Проведём одну диагональ выпуклого четырёхугольника. Она соединит две вершины и разделит фигуру на два треугольника, не оставляя между ними промежутка и не создавая наложения. Поэтому площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих частей: S = S₁ + S₂. Этот способ удобен, когда площади треугольников известны или их можно вычислить отдельно.
Теперь проведём обе диагонали и обозначим точку их пересечения через O. Для выпуклого четырёхугольника диагонали пересекаются внутри него и разбивают его на четыре треугольника. У этих треугольников основаниями можно считать отрезки диагоналей, а высоты связаны с синусом угла между диагоналями. Поэтому каждую площадь можно записать через соответствующие отрезки и sin α.
Обозначим части одной диагонали через a и b, а другой — через c и d. Площади четырёх треугольников равны ½ac sin α, ½bc sin α, ½bd sin α и ½ad sin α. При сложении общий множитель становится ½ sin α, а оставшиеся слагаемые группируются: ac + bc + bd + ad = (a + b)(c + d). Суммы a + b и c + d — это полные длины диагоналей d₁ и d₂, поэтому получается S = ½d₁d₂ sin α.
Формула применима к выпуклому четырёхугольнику, потому что именно в этом случае точка пересечения диагоналей находится внутри фигуры и разделение на четыре треугольника описывает всю её площадь. Она подходит и для фигур, которые не являются квадратами, прямоугольниками или другими специальными видами четырёхугольников. Достаточно знать обе диагонали и угол между ними. Если угол не дан напрямую, его иногда можно найти из других условий задачи.
При перпендикулярных диагоналях α = 90°, поэтому sin α = 1 и формула упрощается до S = ½d₁d₂. В прямоугольнике диагонали равны, а величина угла между ними зависит от соотношения сторон: он не обязан быть прямым. Если стороны прямоугольника равны a и b, то его площадь по формуле через диагонали всё равно равна ab; это можно проверить, подставив длину диагонали √(a² + b²) и синус угла между диагоналями.
| Фигура или способ | Данные | Формула площади | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Произвольный выпуклый четырёхугольник | Диагонали d₁ и d₂, угол α между ними | S = ½d₁d₂ sin α | Известны обе диагонали и угол между ними |
| Разбиение по диагонали | Площади двух треугольников | S = S₁ + S₂ | Известны или находятся площади треугольников |
| Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями | Диагонали d₁ и d₂ | S = ½d₁d₂ | Диагонали перпендикулярны |
Сначала выберите строку, которая подходит к известным данным задачи. Если известны угол и обе диагонали, используйте общую формулу; если диагонали перпендикулярны, синус можно не вычислять. При разбиении по диагонали отдельно найдите площади треугольников, а затем сложите их.
Диагонали выпуклого четырёхугольника равны 6 см и 8 см и перпендикулярны. Нужно найти площадь. Поскольку диагонали образуют прямой угол, можно применить формулу S = ½d₁d₂ без дополнительного вычисления синуса.
Ответ: 24 см². Квадратные сантиметры нужны потому, что площадь измеряется в квадратных единицах.
Диагонали выпуклого четырёхугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними равен 30°. В отличие от первой задачи, угол не прямой, поэтому произведение диагоналей нужно умножить на sin 30°. Значение sin 30° равно ½.
Ответ: 30 см². Умножение на синус уменьшает результат по сравнению с половиной произведения диагоналей, потому что угол острый.
Диагонали пересекаются под углом 60°, одна диагональ равна 8 см, а площадь — 24√3 см². Неизвестную длину обозначим x. Здесь важно не просто подставить числа, а составить равенство по формуле и решить его относительно x.
Ответ: вторая диагональ равна 12 см. Проверка подстановкой даёт ½ · 8 · 12 · √3/2 = 24√3 см², то есть заданная площадь получается.
Первая ошибка — записать S = ½d₁d₂ и забыть множитель sin α. Так поступают, если запоминают частный случай для перпендикулярных диагоналей как общую формулу. Проверьте условие: если угол не равен 90°, синус нельзя просто заменить единицей.
Вторая ошибка — взять угол между сторонами вместо угла между диагоналями. Эти углы относятся к разным прямым, поэтому выбранный угол может дать неверный результат. Перед подстановкой отметьте, какие именно отрезки или прямые образуют данный угол в условии.
Третья ошибка — подставить в формулу значение α вместо sin α. Например, для угла 30° нужно использовать sin 30° = ½, а не число 30. Сначала найдите синус угла, затем подставляйте его в выражение.
Четвёртая ошибка — использовать формулу для выпуклого четырёхугольника, не проверив выпуклость фигуры. Вывод формулы опирается на то, что пересечение диагоналей находится внутри четырёхугольника и делит его на четыре треугольника. Проверьте форму фигуры по условию, прежде чем применять формулу.
Для разбиения четырёхугольника понадобятся формулы площади треугольника, в частности S = ½ab sin γ. Поэтому полезно понимать, как найти площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Также нужно уметь находить синусы углов и знать их основные значения, например sin 30° и sin 90°. Формула площади четырёхугольника пригодится в задачах на диагонали, перпендикулярные диагонали и составные фигуры, которые можно разделить на более простые части.
Как найти площадь четырёхугольника, если известны его диагонали?
Для выпуклого четырёхугольника нужно знать длины обеих диагоналей и угол между ними. Площадь вычисляют по формуле S = ½d₁d₂ sin α. Одних длин диагоналей обычно недостаточно.
Почему в формуле площади появляется синус угла между диагоналями?
При пересечении диагоналей четырёхугольник распадается на четыре треугольника. Площадь каждого выражается через две стороны и синус угла между ними, поэтому при сложении площадей появляется sin α.
Всегда ли достаточно знать только длины диагоналей?
Нет, если диагонали не перпендикулярны, нужно также знать угол между ними или его синус. При одинаковых длинах диагоналей, но разных углах площадь может быть разной.
Как найти площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями?
При перпендикулярных диагоналях угол между ними равен 90°, а sin 90° = 1. Поэтому площадь равна половине произведения диагоналей: S = ½d₁d₂.
Можно ли найти площадь четырёхугольника, разбив его диагональю на два треугольника?
Да. Проведите диагональ, найдите площади получившихся треугольников и сложите их: S = S₁ + S₂. Для вычислений подойдут известные формулы площади треугольника.
107. Площадь четырёхугольника
