"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Решение треугольника — это нахождение всех его сторон и углов по известным элементам. Для этого используют сумму углов, теоремы синусов и косинусов, а также формулу площади через две стороны и угол между ними. Главное — правильно сопоставлять сторону с противолежащим углом, выбирать теорему по исходным данным и проверять, существует ли полученный треугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Решение треугольника — нахождение всех его сторон и углов по заданным элементам. Если известны не все данные, нужно подобрать связи между сторонами и углами. В результате получают полное описание треугольника и могут проверить, существует ли он.
Теорема синусов утверждает: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Здесь сторона и угол обозначены одной буквой, но сторона сопоставляется углу напротив неё. Теорема нужна, чтобы находить неизвестную сторону или угол, когда известна хотя бы одна пара «сторона — противолежащий угол».
Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны с квадратами двух других и косинусом угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos C. Она обобщает теорему Пифагора: при C = 90° последний член равен нулю. Формула помогает найти третью сторону или угол по трём сторонам.
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними вычисляется по формуле S = ½ab sin C. Угол C должен быть заключён между сторонами a и b. Эта формула позволяет находить площадь, даже если высота непосредственно не дана.
Для полного решения не обязательно сразу искать все элементы независимо: достаточно найти недостающие, потому что сумма углов равна 180°. Кроме того, стороны и углы связаны теоремами синусов и косинусов. Поэтому после нескольких найденных величин остальные определяются однозначно или проверяются по этим связям.
Из теоремы синусов неизвестную сторону находят пропорцией: например, a = b · sin A/sin B. Неизвестный угол можно найти через обратную функцию синуса, если известны соответствующая сторона и одна известная пара. Именно противолежащие углы используются потому, что высота разбивает треугольник на прямоугольные треугольники и приводит к одной общей пропорции для каждой стороны.
Если известны стороны a и b и угол C между ними, сначала находят сторону c по теореме косинусов: c² = a² + b² − 2ab cos C. После этого один из оставшихся углов можно найти по теореме синусов или косинусов, а последний — вычитанием из 180°. При трёх известных сторонах угол находят, выразив его косинус, например cos C = (a² + b² − c²)/(2ab).
Выбор теоремы зависит не от названия задачи, а от набора данных. Две стороны и заключённый между ними угол сразу образуют формулу косинусов, как и три стороны. Если дана пара «сторона и противолежащий угол», удобнее теорема синусов; при двух углах сначала используют сумму углов.
Особый случай возникает, когда известны две стороны и угол, не заключённый между ними. Теорема синусов может дать значение sin α, которому соответствуют α и 180° − α. Каждый вариант нужно проверить: третий угол должен быть положительным, а стороны — удовлетворять неравенству треугольника. Поэтому решений бывает два, одно или ни одного.
В таблице сначала найдите строку, совпадающую с исходными данными. Затем примените указанный приём и выполните проверку из последнего столбца.
| Что известно | Какой приём применить | Что найти сначала | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Две стороны и угол между ними | Теорема косинусов | Третью сторону | Полученные длины должны удовлетворять неравенству треугольника |
| Три стороны | Теорема косинусов | Один из углов | Сумма углов равна 180° |
| Сторона и два угла | Сумма углов и теорема синусов | Сначала третий угол, затем недостающие стороны | Каждая сторона сопоставлена своему противолежащему углу |
| Две стороны и угол, не заключённый между ними | Теорема синусов | Угол, противолежащий одной из известных сторон | Проверить все допустимые значения угла и возможность двух решений |
Если данных несколько типов, начинайте с шага, который даёт новую сторону или угол без неоднозначности. После каждого вычисления сохраняйте точность и округляйте только в конце.
Условие. Пусть a = 5, b = 7, C = 60°. Требуется найти c, A и B. Угол C заключён между известными сторонами, поэтому первый шаг однозначен.
Условие. Даны a = 5, b = 6, c = 7, нужно найти углы. Сначала проверим существование: 5 + 6 > 7, значит неравенство треугольника выполнено.
Условие. Пусть a = 8, b = 10, A = 30°, причём угол A не заключён между известными сторонами. Нужно выяснить число решений и найти элементы.
В теореме синусов иногда сопоставляют сторону с соседним или выбранным наугад углом. Ошибка возникает из-за одинаковых буквенных обозначений, но проверка проста: сторона a должна стоять напротив угла A, сторона b — напротив B.
В теореме косинусов подставляют угол, который не находится между двумя известными сторонами. Сначала найдите именно эти две стороны и проверьте, что третий элемент формулы лежит напротив искомой стороны.
Значение синуса ошибочно считают соответствующим только одному углу. Для углов от 0° до 180° подходят α и 180° − α, поэтому оба варианта нужно проверить по сумме углов.
Раннее округление и отсутствие проверки искажают последующие вычисления. Храните несколько знаков после запятой, а в конце убедитесь, что стороны положительны, выполняется неравенство треугольника и сумма углов равна 180°.
До решения треугольников нужны сумма углов, свойства равнобедренного треугольника, а также определения синуса и косинуса. Теоремы синусов и косинусов переносят отношения из прямоугольного треугольника на произвольный. Эти методы применяют при вычислении площадей, высот и расстояний, в том числе в задачах на местности.
С чего начинать решение треугольника?
Сначала обозначьте известные стороны и углы и определите, какие элементы нужно найти. Затем проверьте, есть ли две стороны и угол между ними, три стороны или пара «сторона — противолежащий угол».
Как понять, какую теорему применить — синусов или косинусов?
Теорема косинусов удобна, если известны две стороны и угол между ними или все три стороны. Теорему синусов применяют, когда известна сторона и противолежащий ей угол.
Почему в теореме синусов сторона делится на синус противолежащего угла?
В треугольнике отношение каждой стороны к синусу угла напротив неё одинаково. Поэтому стороне a соответствует sin A, стороне b — sin B, а стороне c — sin C.
Почему по двум сторонам и углу иногда получаются два треугольника?
При использовании теоремы синусов может оказаться, что один и тот же синус соответствует углам α и 180° − α. Если оба варианта дают положительный третий угол и выполняют неравенство треугольника, существуют два разных треугольника.
Как проверить, что найденные стороны и углы образуют возможный треугольник?
Все стороны должны быть положительными, а сумма любых двух сторон — больше третьей. Кроме того, сумма трёх углов должна быть равна 180°, а каждая сторона должна быть сопоставлена своему противолежащему углу.
§ 24. Решение треугольников
