§ 47. Центральное проектирование. Перспектива

Определения и обозначения

Центральная проекция точки — точка пересечения проектирующей прямой, проходящей через центр проектирования и данную точку, с плоскостью проекций. Например, если точка A проектируется из центра O на плоскость α, её образ можно обозначить A′. По этому определению строят проекцию и проверяют, что она лежит на прямой OA и на плоскости α.

Центр проектирования — фиксированная точка, из которой проводят проектирующие прямые к изображаемым точкам. Её часто обозначают O; для каждой исходной точки прямая, соединяющая её с O, задаёт направление проектирования. Общий центр отличает этот способ от параллельного проектирования, где проектирующие прямые параллельны.

Плоскость проекций — плоскость, на которой получают изображение фигуры. Её можно обозначать греческой буквой α, а проекции точек располагать непосредственно на ней. Это своего рода поверхность, на которую попадает изображение; без указания такой плоскости нельзя определить, где окажется образ точки.

Перспектива — изображение пространственного объекта, полученное центральным проектированием. Она передаёт впечатление глубины: ближние части обычно выглядят крупнее дальних, а некоторые параллельные направления на изображении сходятся. Понятие помогает объяснить построение рисунков предметов так, как их видит наблюдатель.

Как это устроено

Чтобы построить проекцию точки A на плоскость α из центра O, сначала соединяют A и O. Затем находят точку пересечения прямой OA с α: это и есть образ A′. Такой порядок следует из определения, потому что проектирующая прямая должна проходить через исходную точку и центр, а результат должен лежать на плоскости изображения. Если прямая параллельна плоскости, пересечения в обычном пространстве не будет, поэтому для конечной проекции нужно подходящее положение.

Рассмотрим прямую l, которая не проходит через O. Через O и l можно провести плоскость: в ней лежат все прямые, соединяющие центр с точками l. Эта плоскость пересекает плоскость проекций по прямой, если плоскости не параллельны и не совпадают. Поэтому проекции точек l располагаются на одной прямой, и образ исходной прямой обычно является прямой. Слово «обычно» нужно потому, что при особом взаимном положении плоскостей возможны вырожденные случаи.

Если прямая проходит через O и не лежит в плоскости проекций, то для любой её точки проектирующая прямая совпадает с этой прямой. Поэтому все точки исходной прямой попадают в одно место — её пересечение с плоскостью проекций. Так целая прямая может иметь точечный образ. Если же она параллельна плоскости проекций и не пересекает её, обычная конечная проекция не определена.

Параллельность при центральном проектировании может нарушаться, потому что лучи, идущие от разных точек, не параллельны, а сходятся в O. Для двух параллельных прямых, не проходящих через центр, плоскости, проведённые через O и каждую из них, обычно пересекаются по прямой через O. Их образы на плоскости проекций могут пересечься в точке, где эта прямая встречает плоскость. Поэтому нельзя по параллельности образов автоматически судить о параллельности исходных прямых.

Перспектива возникает, когда объект изображают лучами от одного центра на плоскости. Удалённая часть предмета занимает меньшую область изображения, так как от наблюдателя она видна под меньшим углом. Параллельные направления, уходящие в глубину, при этом могут выглядеть сходящимися: их проекции направлены к общей точке или области изображения. Такое изображение передаёт зрительное впечатление, но не обязано сохранять истинные длины и углы.

Образы геометрических объектов при центральном проектировании

В таблице сначала найдите исходный объект, а затем прочитайте, какой образ возникает в обычном случае. Последний столбец напоминает, что положение объекта относительно центра и плоскости может изменить результат. При решении задачи всегда проверяйте, не попал ли рассматриваемый объект в такой особый случай.

Разбор задач

Задача 1. Проекция точки

Постройте центральную проекцию точки A на плоскость α при заданных центре O и положении точки A. Здесь не требуется измерять расстояние: положение образа полностью определяется прямой, проходящей через A и O. Нужно найти, где эта прямая встречает плоскость проекций. Предполагается, что прямая OA пересекает α.

1. Проведите прямую через O и A. Она задаёт проектирующую прямую для точки A.
2. Найдите точку пересечения прямой OA с плоскостью α и обозначьте её A′.
3. Проверьте построение: A′ должна лежать одновременно на OA и на α.

Ответ: точка A′, являющаяся пересечением прямой OA с плоскостью α.

Задача 2. Проекция прямой

Определите образ прямой l, если она не проходит через центр O и не параллельна плоскости проекций α. Чтобы не строить проекцию каждой точки отдельно, удобно рассмотреть все проектирующие прямые сразу. Они вместе с исходной прямой образуют плоскость. Её пересечение с α задаёт образ l.

1. Проведите плоскость β через O и прямую l. В ней лежат O и каждая точка прямой l.
2. Найдите линию пересечения β и α. Поскольку плоскости не параллельны, она является прямой.
3. Сопоставьте полученную прямую с проекциями точек l: все они лежат на линии β ∩ α.

Ответ: проекцией прямой l является прямая β ∩ α. Это заключение опирается на то, что β содержит все проектирующие прямые, проведённые из O к точкам l.

Задача 3. Проекция плоской фигуры

Дана плоская фигура, заданная вершинами и сторонами; требуется построить её проекцию и выяснить, какие свойства могут измениться. Начинайте с вершин: именно их образы определяют, где будут проходить стороны многоугольника. После построения нужно различать свойства, заданные изображением, и свойства исходной фигуры. Центральное проектирование в общем случае не сохраняет ни длины, ни углы.

1. Для каждой вершины проведите прямую через неё и центр O; отметьте пересечения этих прямых с плоскостью α.
2. Соедините образы соседних вершин в том же порядке, что и исходные вершины. Получатся образы сторон и всей фигуры.
3. Сравните исходную фигуру с её изображением: длины и углы могут измениться, а параллельные стороны могут перестать быть параллельными.
4. Если какая-либо сторона лежит на прямой через O, проверьте отдельно: её образ может выродиться в точку.

Ответ: фигура строится по образам вершин, соединённым в исходном порядке. Длины, углы и параллельность в общем случае не гарантированы, поэтому их сохранение нужно проверять отдельно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что параллельность сохраняется. Это ожидание возникает из опыта с чертежами, где параллельные линии часто изображают параллельными. Но при центральном проектировании лучи сходятся в центре, поэтому образы параллельных прямых могут пересечься. Проверка: проследите плоскости через центр и каждую прямую — линии их пересечения с плоскостью проекций могут встретиться.

Ошибка: проводить проектирующие прямые параллельно друг другу. Так делают, когда путают центральное проектирование с параллельным. В центральном способе каждая проектирующая прямая проходит через один и тот же центр O. Проверка: возьмите любую исходную точку и убедитесь, что соединяющая её с O прямая проходит через центр.

Ошибка: полагать, что длины и углы обязательно сохраняются. На обычных чертежах хочется оценивать фигуру по виду, но центральная проекция может растягивать или сжимать участки и менять величину углов. Проверка: не делайте вывод о равенстве отрезков или углов только по их изображению; обоснуйте его отдельно. Для перспективного рисунка внешний вид не заменяет геометрическое доказательство.

Ошибка: не учитывать прямую, проходящую через центр. Кажется, что каждой точке прямой обязательно соответствует отдельная точка на плоскости. Однако если прямая проходит через O, все её точки проектируются вдоль одной и той же прямой и могут иметь общий образ. Проверка: сначала выясните, принадлежит ли центр исходной прямой, и только затем определяйте вид проекции.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся умения проводить прямую через две точки и находить пересечение прямой с плоскостью. Эти действия позволяют получать проекции точек, а затем собирать из них изображение фигуры. Центральное проектирование удобно сравнивать с параллельным: оба способа переводят пространственные объекты на плоскость, но используют разные положения проектирующих прямых. Перспектива применяет центральное проектирование для наглядного изображения геометрических тел и других пространственных объектов.

Что запомнить

• Центральная проекция точки лежит на прямой, проходящей через точку и центр проектирования.
• Образ получают на плоскости проекций.
• Образ прямой обычно является прямой.
• Прямая через центр проектирования может изображаться точкой.
• Центральное проектирование в общем случае не сохраняет длины и углы.
• Параллельные прямые могут изображаться пересекающимися.