§ 51. Полуправильные многогранники

Определения и обозначения

Полуправильный многогранник — выпуклый многогранник, гранями которого служат правильные многоугольники, а устройство около каждой вершины одинаково. Грани могут быть разными, но их расположение у всех вершин должно повторяться. Это условие отличает полуправильное тело от просто многогранника с правильными гранями.

Конфигурация вершины — порядок и виды многоугольников, сходящихся в одной вершине. Её записывают числами, равными числу сторон граней, в порядке обхода вокруг вершины. Такая запись позволяет быстро сравнивать вершины и проверять одинаковость их устройства.

Архимедово тело — полуправильный многогранник, у которого конфигурация всех вершин одинакова. Например, наличие правильных треугольников и квадратов ещё не делает фигуру архимедовой, если в разных вершинах они соединяются по-разному. Поэтому проверяют не только состав граней, но и каждую вершину.

Усечение многогранника — срезание его вершин плоскостями. На месте каждой срезанной вершины появляется новая грань, а исходные грани меняют форму. При симметричном и подходящем срезании можно получить полуправильное тело.

Как это устроено

Одних правильных граней недостаточно, потому что многогранник определяется не только формой отдельных частей, но и способом их соединения. В одной вершине могут сходиться, например, два треугольника и квадрат, а в другой — треугольник и два квадрата. Тогда вершины устроены неодинаково, и определение полуправильного многогранника не выполнено.

Конфигурацию читают, обходя грани вокруг вершины и записывая число сторон каждой из них. Запись 3.8.8 означает, что в вершине встречаются треугольник и два восьмиугольника. Порядок нужен потому, что один и тот же набор граней может быть соединён по-разному; запись должна отражать именно круговое расположение.

У кубооктаэдра в каждой вершине по очереди встречаются треугольник, квадрат, треугольник и квадрат, поэтому конфигурация равна 3.4.3.4. Всего у него 8 треугольных и 6 квадратных граней. Усечённый куб состоит из 8 треугольников и 6 восьмиугольников, а около каждой вершины расположены один треугольник и два восьмиугольника: 3.8.8.

При усечении плоскость отсекает вершину, и сечение становится новой гранью. Если срезать куб на одинаковом расстоянии от всех вершин, его квадратные грани превращаются в восьмиугольники, а на месте вершин появляются треугольники. Полуправильность возникает только тогда, когда сечения подобраны так, чтобы все новые грани были правильными и одинаковая конфигурация повторялась у каждой вершины.

Проверку проводят в два этапа: сначала перечисляют все типы граней и убеждаются, что каждый из них правильный. Затем выбирают вершины разных мест тела и сравнивают последовательности чисел в их конфигурациях. Если хотя бы одна вершина имеет другую запись, фигура не соответствует определению полуправильного многогранника.

Примеры полуправильных многогранников и их устройство

В таблице сначала смотрят на состав граней, затем — на конфигурацию вершины. Число граней находят сложением количеств многоугольников разных видов. Эти данные можно использовать для проверки числа рёбер по сумме сторон граней и формуле Эйлера.

Разбор задач

Задача 1

У правильного многогранника при каждой вершине сходятся два треугольника и один восьмиугольник. Требуется записать конфигурацию и назвать дополнительное условие полуправильности. Сначала переводим виды граней в числа, а затем вспоминаем, что одной вершины недостаточно для проверки всего тела.

1. Треугольнику соответствует число 3, восьмиугольнику — число 8.
2. При обходе вокруг вершины получаем запись 3.3.8, или, с учётом циклического порядка, 3.8.3.
3. Проверяем остальные вершины: такая же конфигурация должна быть у каждой из них.

Ответ: конфигурация вершины — 3.3.8. Дополнительно нужно установить, что все вершины имеют одинаковую конфигурацию и что все грани действительно правильные.

Задача 2

У многогранника 8 треугольных и 6 квадратных граней, а конфигурация вершины — 3.4.3.4. Нужно найти число рёбер и вершин. Сначала считаем рёбра по граням, затем применяем формулу Эйлера В − Р + Г = 2.

1. Число сторон всех граней равно 8 · 3 + 6 · 4 = 24 + 24 = 48.
2. Каждое ребро посчитано дважды, поэтому Р = 48 : 2 = 24.
3. Число граней Г = 8 + 6 = 14.
4. Из формулы Эйлера: В = 2 + Р − Г = 2 + 24 − 14 = 12.

Ответ: 24 ребра и 12 вершин. Полученные числа совпадают с устройством кубооктаэдра.

Задача 3

Есть 8 правильных треугольников со стороной 2 и 6 квадратов со стороной 2. Нужно найти площадь всей поверхности. Сначала находим площадь одной грани каждого вида, а затем умножаем её на количество таких граней.

1. Площадь правильного треугольника со стороной 2: S₁ = a²√3 / 4 = 4√3 / 4 = √3.
2. Площадь квадрата со стороной 2: S₂ = a² = 4.
3. Площадь треугольных граней: 8 · √3 = 8√3.
4. Площадь квадратных граней: 6 · 4 = 24.
5. Складываем результаты: S = 8√3 + 24.

Ответ: суммарная площадь поверхности равна 24 + 8√3 квадратных единиц. Важно не складывать площади отдельных видов граней до умножения на их количество.

Типичные ошибки

Считать тело полуправильным только потому, что все его грани правильные. Так поступают, забывая о второй части определения — одинаковом устройстве вершин. Проверяйте хотя бы по одной вершине каждого типа и сравнивайте их конфигурации.

Записывать конфигурацию без порядка или путать её с количеством граней всего многогранника. Одинаковый набор чисел ещё не описывает расположение вокруг вершины. Помогает последовательный обход граней по кругу, начиная с любой одной грани.

Складывать числа сторон всех граней и объявлять результат числом рёбер. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому сумма сторон вдвое больше числа рёбер. После подсчёта обязательно делите сумму на 2.

Неправильно подставлять данные в формулу Эйлера или применять её без проверки выпуклости. Буквы В, Р и Г обозначают вершины, рёбра и грани соответственно. Запишите формулу В − Р + Г = 2 и проверьте, что речь идёт о выпуклом многограннике.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства правильных многоугольников, а также понятия грани, ребра и вершины. Подсчёт элементов опирается на формулу Эйлера для выпуклого многогранника: В − Р + Г = 2. Эти знания пригодятся при классификации многогранников и вычислении площади их поверхности.

Что запомнить

• Грани полуправильного многогранника — правильные многоугольники.
• У каждой вершины должна быть одна и та же конфигурация граней.
• Конфигурацию вершины записывают по видам граней в порядке их расположения вокруг неё.
• Каждое ребро принадлежит двум граням.
• Для выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера: В − Р + Г = 2.
• Усечение вершин может привести к полуправильному многограннику, но результат нужно проверить по определению.