"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Полуправильный многогранник — выпуклая фигура, составленная из правильных многоугольников. Грани могут быть разных видов, но возле каждой вершины они должны располагаться одинаково. По вершинной конфигурации можно описать этот порядок, а по числу сторон граней — проверить возможные сочетания. Такие фигуры помогают изучать строение многогранников, считать их элементы и создавать объёмные модели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Полуправильный многогранник — выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками, а расположение граней вокруг каждой вершины одинаково. В отличие от правильного многогранника, у него могут встречаться грани разных видов. Это определение помогает проверять не только форму граней, но и то, как они соединяются.
Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Примеры таких фигур — равносторонний треугольник и квадрат. Это понятие нужно, чтобы определить, подходят ли отдельные грани для полуправильного многогранника.
Вершинная конфигурация — запись видов граней, сходящихся в одной вершине, в порядке их обхода, например 3.4.3.4. Числа в записи обозначают количество сторон у многоугольников: 3 — треугольник, 4 — четырёхугольник. Такая запись позволяет сравнить окружение вершин и увидеть, повторяется ли оно.
Усечённый многогранник — многогранник, полученный срезанием вершин исходного многогранника; срезы образуют новые грани. Например, если срезать вершины тетраэдра, на месте них появятся треугольники. Понятие помогает описать, откуда берутся новые грани и как меняется исходная фигура.
У правильного многогранника все грани одинаковы, а у полуправильного могут сочетаться, например, квадраты и треугольники. При этом каждую грань по отдельности всё равно составляют равные стороны и углы. Главный признак — одинаковый порядок граней вокруг всех вершин: тогда форма не меняет свой тип от одной вершины к другой. Поэтому одного перечня видов граней для распознавания недостаточно.
Когда срезают вершину правильного многогранника, плоскость среза пересекает рёбра, выходящие из этой вершины. Получившееся сечение становится новой гранью, а части исходных граней остаются на фигуре, но меняют форму. У тетраэдра при подходящем срезании каждая из четырёх вершин даёт треугольную грань; исходные четыре треугольные грани превращаются в шестиугольники. Поэтому усечённый тетраэдр имеет грани двух видов — треугольники и шестиугольники.
В конфигурации 3.4.3.4 цифры читают как названия многоугольников по числу сторон, а точки разделяют их в последовательности обхода вершины. Запись означает, что вокруг неё попеременно расположены треугольник, квадрат, треугольник и квадрат. Порядок существенен: он показывает соседство граней, а не только их набор. Такая запись помогает сравнить вершины и установить, одинаково ли они устроены.
В выпуклом многограннике грани возле вершины складываются так, что оставляют там угол меньше полного оборота, то есть меньше 360°. Если сумма достигла бы 360°, поверхность в этом месте стала бы плоской, а если превысила бы его — грани не смогли бы образовать выпуклый угол. Поэтому возможные сочетания многоугольников ограничены: нужно сложить их углы при вершине и проверить результат. Например, равносторонний треугольник даёт угол 60°, квадрат — 90°, а правильный восьмиугольник — 135°.
Чтобы проверить предполагаемую фигуру, сначала выясняют, правильны ли все её грани, и записывают их состав. Затем описывают порядок граней у каждой вершины и сравнивают полученные конфигурации: они должны совпасть. Наконец, проверяют, что сумма углов у вершины меньше 360° и что подсчёты элементов согласуются. Если одинаковый состав граней даёт разные конфигурации вершин, фигура не подходит под определение полуправильного многогранника.
| Многогранник | Состав граней | Вершинная конфигурация | Число вершин | Число рёбер | Число граней |
|---|---|---|---|---|---|
| Усечённый тетраэдр | 4 треугольника, 4 шестиугольника | 3.6.3.6 | 12 | 18 | 8 |
| Кубооктаэдр | 8 треугольников, 6 квадратов | 3.4.3.4 | 12 | 24 | 14 |
| Усечённый куб | 8 треугольников, 6 восьмиугольников | 3.8.8 | 24 | 36 | 14 |
Сначала по столбцу состава граней можно понять, какие правильные многоугольники образуют фигуру, а конфигурация показывает их порядок у вершины. Остальные столбцы дают числа вершин, рёбер и граней для проверки подсчётов. Помните, что цифра в записи конфигурации обозначает число сторон многоугольника, а не число таких граней в фигуре.
Усечённый тетраэдр имеет 4 треугольные и 4 шестиугольные грани. Сколько всего у него граней? Здесь перечислены два вида граней, поэтому нужно сложить их количества, а не стороны многоугольников. Число 6 в слове «шестиугольник» не означает шесть граней.
Ответ: 8 граней.
У кубооктаэдра в каждой вершине сходятся два равносторонних треугольника и два квадрата. Нужно записать конфигурацию и найти сумму углов граней при вершине. Обозначим треугольник числом 3, а квадрат числом 4. В условии не задан точный порядок, но у кубооктаэдра грани чередуются.
Ответ: конфигурация 3.4.3.4, сумма углов равна 300°.
У многогранника 8 треугольных и 6 восьмиугольных граней; в каждой вершине сходятся один треугольник и два восьмиугольника. Найдём рёбра, а затем вершины. Сначала посчитаем стороны всех граней вместе, учитывая, что каждое ребро принадлежит двум граням. Затем учтём, что у каждой вершины сходятся три ребра.
Ответ: 36 рёбер и 24 вершины.
Ошибка — считать, что у полуправильного многогранника могут быть грани только одного вида. Так думают, потому что у правильного многогранника все грани одинаковы, но это требование здесь другое: грани должны быть правильными, а их виды могут различаться. Проверьте себя по определению: одинаковым должно быть расположение граней около вершин, а не обязательно сами грани.
Ошибка — объявлять фигуру полуправильной только по составу граней. Один и тот же набор треугольников и квадратов может располагаться вокруг вершин по-разному, поэтому перечень не показывает всей структуры. Составьте конфигурацию у каждой вершины и сравните записи: они должны совпасть с точностью до выбора начала обхода и направления.
Ошибка — принимать число сторон многоугольника за число граней такого вида. Например, шестиугольник имеет шесть сторон, но шестиугольных граней у многогранника может быть сколько угодно. Чтобы не перепутать, отдельно называйте вид грани и считайте, сколько таких граней дано.
Ошибка — складывать стороны всех граней и считать сумму числом рёбер. Она завышает результат, потому что каждое ребро является общей стороной двух граней и попадает в подсчёт два раза. Разделите сумму сторон на два и проверьте, что у каждого ребра действительно есть две соседние грани.
Для изучения темы нужно знать виды многоугольников и свойства правильных многоугольников, в том числе формулы их внутренних углов. Также важно различать вершины, рёбра и грани многогранника и уметь считать грани, сходящиеся в одной вершине. Эти знания помогают проверять конфигурации и находить числа элементов. Позже они пригодятся при изучении правильных многогранников, формулы Эйлера и создании объёмных моделей.
Чем полуправильный многогранник отличается от правильного?
У правильного многогранника все грани — одинаковые правильные многоугольники. У полуправильного грани тоже правильные, но могут быть разных видов; при этом расположение граней вокруг каждой вершины одинаково.
Могут ли у полуправильного многогранника быть грани разных видов?
Да, это возможно: например, у усечённого тетраэдра есть треугольные и шестиугольные грани. Важно, чтобы каждый из этих многоугольников был правильным, а порядок граней около каждой вершины повторялся.
Что означает запись 3.4.3.4?
В одной вершине по порядку обхода сходятся треугольник, квадрат, треугольник и квадрат. Числа показывают количество сторон у соответствующих правильных многоугольников.
Почему одинакового набора граней недостаточно, чтобы назвать многогранник полуправильным?
У фигуры могут быть правильные грани нужных видов, но располагаться около разных вершин по-разному. Для полуправильного многогранника одинаковой должна быть именно вершинная конфигурация.
Как при подсчёте числа рёбер не посчитать каждое ребро дважды?
Сначала сложите число сторон всех граней, а затем разделите результат на два. Каждое ребро является стороной ровно двух граней, поэтому в общей сумме оно учтено дважды.
§ 85. Полуправильные многогранники
