§ 86. Звездчатые многогранники

Определения и обозначения

Звездчатый многоугольник — фигура, полученная соединением не соседних вершин правильного многоугольника. Например, если в пятиугольнике соединить каждую вершину с вершиной через одну, линии образуют пятиконечную звезду. В отличие от выпуклого многоугольника, его стороны пересекаются внутри контура, поэтому он помогает увидеть, как пропуск вершин меняет форму фигуры.

Звездчатый многогранник — многогранник со звездчатыми гранями или с гранями, которые пересекаются из-за продолжения их плоскостей. Грань — плоская часть поверхности многогранника, а её плоскость можно продолжить за пределы грани. Это определение нужно, чтобы отличать звездчатые тела от обычных многогранников с просто выступающими углами.

Правильный звездчатый многогранник имеет одинаковые правильные звездчатые грани и одинаковое устройство всех вершин. Иными словами, в каждой вершине грани сходятся по одному и тому же правилу, а сама фигура повторяет одинаковый узор. Это определение позволяет отличить правильное тело от фигуры, которая лишь кажется симметричной с одного ракурса.

Самопересечение многогранника — пересечение его граней или рёбер, которое не является их общей гранью или общей вершиной. Например, две части поверхности могут пересечься в точке, но эта точка не обязательно становится вершиной исходного многогранника. Термин нужен, чтобы не путать видимое пересечение на модели с настоящим элементом фигуры.

Как это устроено

Чтобы получить звездчатый многоугольник, берут правильный многоугольник и соединяют вершины не по порядку, а через одну или через несколько вершин. Если соединять только соседние вершины, получится обычная граница многоугольника, а линии не пойдут внутрь фигуры. При пропуске вершин отрезки пересекают внутреннюю часть контура, и из-за этого возникает звёздчатый рисунок. Число пропускаемых вершин влияет на вид звезды, поэтому важно точно знать правило соединения.

Звездчатая форма многогранника может появиться, если продолжить плоскости граней обычного многогранника. Такие плоскости пересекаются за пределами исходного тела, и их части образуют новые выступы и грани. Это похоже на построение звезды в многоугольнике: прямые и плоскости продолжаются дальше привычной границы. Поэтому звездчатое тело не всегда выглядит как одно выпуклое «цельное» тело.

У звездчатого многогранника грани могут пересекаться, потому что они расположены не только по внешней оболочке тела, как у выпуклой фигуры. Одна грань может проходить через область, занятую другой, или пересекать её продолжение. Поэтому нельзя описывать его поверхность так же просто, как поверхность выпуклого многогранника, у которого грани образуют замкнутую оболочку без самопересечений. При изучении модели нужно отдельно прослеживать каждую грань и отмечать, где она действительно заканчивается.

Правильность проверяют не по общему впечатлению, а по двум признакам: все грани должны быть одинаковыми правильными многоугольниками, а вокруг каждой вершины грани должны располагаться одинаково. Если хотя бы одна вершина устроена иначе или одна грань отличается от остальных, фигура не подходит под это определение. Такой способ проверки надёжнее, чем сравнивать только внешний вид рисунка. На плоском изображении часть элементов может быть скрыта или казаться неодинаковой из-за перспективы.

Четыре правильных звездчатых многогранника называют многогранниками Кеплера—Пуансо. У двух из них грани имеют форму пятиконечной звезды, то есть правильного звездчатого пятиугольника; у двух других грани — обычные правильные пятиугольники, но их расположение создаёт звездчатую форму всего тела. Различаются эти фигуры также устройством вершин: в них грани сходятся по-разному. Поэтому для их сравнения смотрят одновременно на форму грани и на то, как грани соединяются у вершин.

Сравнение выпуклых и звездчатых многогранников

Чтобы сравнить фигуру с таблицей, сначала определите форму её граней, затем проверьте, пересекаются ли грани или рёбра. После этого сравните устройство вершин: для правильного звездчатого многогранника оно должно быть одинаковым в каждой вершине. Одного похожего внешнего вида для вывода недостаточно.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В правильном пятиугольнике соединить каждую вершину с вершиной через одну и определить получившуюся фигуру. Нужно понять, является ли результат обычным многоугольником или звездчатым. Соседними будем называть вершины, соединённые стороной пятиугольника.

1. Обозначим вершины по порядку: А, Б, В, Г, Д. Для каждой вершины выберем следующую после одной вершину: например, из А проведём отрезок к В.
2. Повторим такое соединение для остальных вершин. Мы пропускаем соседнюю вершину, поэтому проводимые отрезки не идут по сторонам исходного пятиугольника.
3. Проверим, как расположены отрезки: они проходят внутри пятиугольника и пересекаются. Значит, граница не является выпуклой и соединение создаёт звёздчатый рисунок.

Ответ. Получается правильный звездчатый пятиугольник, или пятиконечная звезда. Его стороны образованы отрезками между несоседними вершинами исходного пятиугольника.

Задача 2

Условие. По модели нужно выяснить, какие грани звездчатые, где есть пересечения и можно ли назвать многогранник правильным. Внешний вид сам по себе ответа не даёт. Проверим модель по отдельным признакам.

1. Проследим границы каждой грани. Если её стороны образуют звёздчатый многоугольник, отметим грань как звездчатую; если это обычный многоугольник, проверим, не участвуют ли в звездчатой форме продолжения плоскостей.
2. Отдельно отметим точки, где грани или рёбра пересекаются. Не будем сразу называть их вершинами: сначала проверим, сходятся ли там рёбра по устройству самого многогранника.
3. Сравним все грани между собой и рассмотрим вершины. Для правильности грани должны быть одинаковыми и правильными, а одинаковое число граней должно располагаться вокруг каждой вершины одним и тем же способом.

Ответ. Пересечения можно отметить как самопересечения, но их не следует автоматически считать новыми рёбрами или вершинами. Назвать модель правильным звездчатым многогранником можно только тогда, когда совпали проверки граней и вершин.

Задача 3

Условие. Нужно сравнить четыре правильных звездчатых многогранника по форме граней, числу граней вокруг вершины и характеру самопересечений. Здесь не требуется угадывать название по силуэту: используется единый порядок проверки. Число граней у вершины понимают как число граней, сходящихся в каждой вершине по принятому устройству модели.

1. Сначала рассмотрим грани. У двух многогранников они звездчатые, в форме правильных пятиконечных звёзд; у двух других — правильные пятиугольники.
2. Затем сравним вершины: выясним, сколько граней сходится в каждой из них и одинаково ли они расположены. У правильного многогранника устройство всех вершин совпадает, но у разных многогранников оно может различаться.
3. Наконец, проследим, как пересекаются грани и их продолжения. Сопоставим результат с формой граней и вершин: вместе эти признаки различают четыре фигуры, даже если некоторые их части на рисунке перекрыты.

Ответ. Все четыре фигуры — многогранники Кеплера—Пуансо. Для сравнения каждой нужно записать форму граней, устройство вершин и характер самопересечений; одного признака недостаточно.

Типичные ошибки

Ошибка — считать звездчатым любой многогранник с выступающими вершинами. Так думают, потому что необычный силуэт напоминает звезду, но выступы сами по себе не означают звездчатых граней или самопересечений. Проверьте грани и их продолжения: у фигуры должен быть соответствующий звездчатый способ устройства.

Ошибка — путать звездчатый многоугольник с обычным выпуклым и соединять только соседние вершины. Это происходит, когда внимание сосредоточено на обходе границы, а не на заданном пропуске вершин. Проверьте каждую линию: если соединены соседние вершины, получаются стороны исходного многоугольника, а не звезда.

Ошибка — принимать пересечение граней за дополнительное ребро или вершину. На рисунке линии могут встретиться в одной точке, и кажется, будто там автоматически возник новый элемент. Проверьте, является ли эта точка частью принятого устройства многогранника и сходятся ли в ней его рёбра; иначе отмечайте её только как самопересечение.

Ошибка — называть многогранник правильным только из-за одинакового внешнего вида. Симметричный силуэт может скрывать разные грани или неодинаково устроенные вершины, особенно на плоском изображении. Сравните все грани и расположение граней у каждой вершины: оба условия должны выполняться одновременно.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия многогранника, грани, ребра, вершины, выпуклого и правильного многогранника. Построение звездчатых многоугольников опирается на умение работать с правильными многоугольниками, а устройство многогранника — на представление об углах между гранями. Позже эти знания помогают изучать симметрию и многогранники Кеплера—Пуансо. Звездчатые формы также встречаются в архитектуре, дизайне и компьютерной графике.

Что запомнить

• Звездчатый многоугольник получают соединением не соседних вершин правильного многоугольника.
• Звездчатый многогранник может иметь пересекающиеся грани или рёбра.
• Правильность требует одинакового устройства всех граней и вершин.
• Самопересечение не следует автоматически считать обычным ребром или вершиной.
• Четыре правильных звездчатых многогранника называют многогранниками Кеплера—Пуансо.
• При разборе модели нужно отдельно рассматривать грани, рёбра, вершины и их пересечения.