"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Звездчатые многогранники возникают, когда плоскости граней правильного многогранника продолжают за его рёбра: продолженные части образуют выступы и пересекаются. Их грани могут иметь форму звёздчатых многоугольников, а поверхность — входящие участки, поэтому такие тела невыпуклы. При этом многогранник может быть правильным: его грани равны, а расположение граней около каждой вершины одинаково. Эти объекты помогают увидеть, как продолжение плоскостей меняет форму тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Звездчатый многоугольник — многоугольник, образованный пересекающимися отрезками, которые соединяют не только соседние вершины правильного многоугольника. Например, диагонали правильного пятиугольника образуют звёздчатую фигуру. Это определение помогает отличать её от обычного контура исходного многоугольника.
Звездчатый многогранник — невыпуклый многогранник, грани которого получены продолжением плоских граней исходного многогранника и пересекаются. Продолжение здесь означает, что плоскость грани мысленно проводят дальше её рёбер. Определение позволяет проследить, откуда возникают новые выступы и пересечения.
Звездчатая грань — многоугольная грань, контур которой образован пересекающимися сторонами и выступами. Её форма похожа на звезду, а не на обычный выпуклый многоугольник. Этот термин нужен, чтобы описывать отдельные части поверхности звездчатого многогранника.
Правильный звездчатый многогранник — многогранник с равными правильными звездчатыми гранями, у которого одинаково устроено окружение каждой вершины. Иными словами, у всех вершин повторяется один и тот же порядок расположения граней. Определение показывает, что правильность связана с симметрией элементов, а не с выпуклостью тела.
Чтобы получить звёздчатый многоугольник, выбирают в правильном многоугольнике вершины через одну или через несколько вершин и соединяют их отрезками. Отрезок между несоседними вершинами становится диагональю, поэтому он проходит через внутреннюю часть фигуры. В правильном пятиугольнике диагонали пересекаются и образуют внутри пятиконечный звёздчатый контур. Пересечения появляются потому, что отрезки направлены через многоугольник, а не вдоль его соседних сторон.
Похожий приём работает в пространстве: плоскую грань можно продолжить за её рёбра, сохраняя её плоскость. Соседние продолжения встречаются, и вместе с исходными частями образуют выступы, а иногда и новые точки пересечения. Поэтому полученная поверхность устроена сложнее, чем оболочка обычного выпуклого многогранника. Способ построения объясняет, почему звездчатые тела связаны с исходным правильным многогранником.
У звездчатого многогранника грани могут пересекаться, потому что их плоскости продолжены за исходные рёбра и заходят в области, занятые другими частями поверхности. На модели это проявляется как входящие участки и пересечения, а не только как выпуклые углы наружу. У выпуклого тела отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри тела; для звездчатого такая проверка не проходит. Поэтому симметрия или аккуратная форма сама по себе не делает тело выпуклым.
Правильный додекаэдр состоит из правильных пятиугольных граней, а правильный икосаэдр — из правильных треугольных. Если продолжить плоскости их граней, линии пересечения продолжений зададут новые контуры и выступы. Так получают, в частности, малый звездчатый додекаэдр из додекаэдра; продолжение граней икосаэдра также приводит к правильным звездчатым многогранникам. Причина появления таких тел — закономерное расположение исходных граней, которое сохраняется и при продолжении их плоскостей.
Звездчатый многогранник считают правильным не потому, что он похож на выпуклое тело, а потому, что его элементы повторяются по единому правилу. Все грани должны быть равными правильными звёздчатыми многоугольниками, а порядок граней вокруг каждой вершины — одинаковым. Тогда любую вершину можно рассматривать как такую же, как остальные, по устройству её окружения. Пересечения этому условию не мешают, поскольку правильность описывает равенство и симметрию, а не выпуклость.
| Признак | Правильный выпуклый многогранник | Правильный звездчатый многогранник |
|---|---|---|
| Форма граней | Равные правильные выпуклые многоугольники | Равные правильные звездчатые многоугольники |
| Расположение граней | Одинаковое около каждой вершины | Одинаковое около каждой вершины |
| Пересечение граней | Грани не пересекаются | Продолженные грани могут пересекаться |
| Выпуклость | Выпуклый | Невыпуклый |
| Пример | Правильный додекаэдр | Малый звездчатый додекаэдр |
Сначала сравните форму граней, затем посмотрите, как они расположены около вершин. После этого проверьте, пересекаются ли продолжения и выпукло ли тело. Так таблица помогает не путать правильность с выпуклостью.
Задача 1. На рисунке изображён правильный пятиугольник с проведёнными диагоналями. Укажите, какая фигура образована диагоналями и какие отрезки пересекаются. Нужно отличить стороны исходного пятиугольника от отрезков, создающих внутреннюю звезду.
Отметьте стороны пятиугольника: каждая соединяет две соседние вершины и образует внешний контур исходной фигуры. Диагональ, напротив, соединяет две несоседние вершины. Поэтому проведённые внутри отрезки являются диагоналями, а не сторонами исходного пятиугольника.
Проследите диагонали по очереди: они проходят через внутреннюю область и встречаются с другими диагоналями. В результате получается звёздчатый пятиугольник. Пересекаются диагонали, а его лучевые стороны составлены участками этих диагоналей.
Ответ: диагонали образуют звёздчатый пятиугольник; пересекаются диагонали исходного пятиугольника. Его обычные стороны остаются внешним контуром правильного пятиугольника и не являются сторонами звезды.
Задача 2. Даны изображения правильного додекаэдра и тела, полученного продолжением его граней. Объясните, почему второе тело звездчатое и невыпуклое. Здесь нужно проверить способ получения поверхности и наличие пересечений, а не только внешний вид модели.
Сравните грани исходного додекаэдра с плоскостями новых участков поверхности. Если новые участки лежат в плоскостях продолженных пятиугольных граней, тело построено продолжением граней за рёбра. Это соответствует способу получения звездчатого многогранника.
Найдите места, где продолженные плоскости или полученные грани пересекаются. Такие пересечения создают выступы и входящие участки поверхности. Следовательно, поверхность не ограничивает выпуклое тело, и многогранник невыпуклый.
Ответ: тело является звездчатым, поскольку его части образованы продолжением граней додекаэдра и пересекаются. Оно невыпуклое, так как поверхность имеет входящие участки и нарушает свойство выпуклого тела.
Задача 3. По схеме продолжения граней правильного додекаэдра определите, как возникает малый звездчатый додекаэдр, и объясните, какие признаки позволяют считать его правильным звездчатым многогранником. Проверять нужно не только происхождение тела, но и повторяемость его элементов.
Продлите плоскости пятиугольных граней за их рёбра. Их продолженные части встречаются и образуют выступы, из которых складывается новый звёздчатый контур. Такая схема показывает получение малого звездчатого додекаэдра продолжением граней исходного додекаэдра.
Сравните грани нового тела: они должны быть равными правильными звёздчатыми многоугольниками. Затем проверьте вершины: около каждой грани расположены в одинаковом порядке. Эти признаки подтверждают правильность, хотя полученное тело невыпукло.
Ответ: продолжение граней додекаэдра создаёт выступы и пересечения, формирующие малый звездчатый додекаэдр. Он правильный, потому что его звёздчатые грани равны и устройство около всех вершин одинаково; пересечения не отменяют этих свойств.
Ошибка: считать звездчатым любой многогранник с выступами. Выступы могут быть у разных тел, но по одному внешнему виду нельзя установить способ их получения. Ошибку допускают, когда не рассматривают плоскости граней. Проверьте, получены ли части поверхности продолжением исходных граней и пересекаются ли они.
Ошибка: называть симметричное тело выпуклым. Симметрия означает повторение формы, а не отсутствие входящих участков. Внешне аккуратная модель тоже может быть невыпуклой. Проверьте, можно ли соединить любые две точки тела отрезком, целиком лежащим внутри него.
Ошибка: путать грани исходного и полученного многогранников. При продолжении плоскостей появляются новые контуры и пересечения, поэтому границы исходной грани не всегда совпадают с границами звёздчатой. Путаница возникает, если смотреть только на первоначальные рёбра. Отдельно проследите исходные грани и новые участки, лежащие в их продолженных плоскостях.
Ошибка: считать, что правильный многогранник обязательно выпуклый. В обычных примерах правильность часто встречается вместе с выпуклостью, поэтому свойства легко смешать. Однако правильность относится к равенству граней и одинаковому устройству вершин. Проверьте эти признаки независимо от наличия пересечений и входящих участков.
Для изучения темы нужно знать, что такое многогранник, его грань, ребро и вершина, а также понимать определения правильного многоугольника и правильного многогранника. Эти понятия помогают описывать исходное тело и сравнивать его с полученным после продолжения граней. Тема связывает построение правильных многогранников с пространственными моделями. Она также развивает умение представлять пересечение плоскостей и анализировать, куда продолжаются грани за рёбра.
Чем звездчатый многогранник отличается от обычного многогранника?
У звездчатого многогранника продолженные плоские грани пересекаются и образуют выступы или входящие участки поверхности. Поэтому он невыпуклый; грани могут быть звёздчатыми многоугольниками.
Как построить звездчатый многоугольник?
Возьмите правильный многоугольник и соединяйте его вершины отрезками не только по соседству. Например, в правильном пятиугольнике проведите диагонали: они образуют внутри звёздчатый пятиугольник.
Почему звездчатый многогранник не является выпуклым?
Его продолженные грани пересекаются, а поверхность имеет участки, направленные внутрь. Поэтому не всякий отрезок между двумя точками такого тела целиком лежит внутри него — это нарушает определение выпуклого тела.
Какие правильные многогранники можно получить продолжением граней?
Продолжая грани правильного додекаэдра или икосаэдра, можно построить правильные звездчатые многогранники. Например, у додекаэдра продолжение граней позволяет получить малый звездчатый додекаэдр.
Может ли звездчатый многогранник быть правильным?
Да. Правильность означает, что грани равны и одинаково расположены около каждой вершины, а не то, что тело выпуклое. Поэтому правильный звездчатый многогранник может иметь пересекающиеся грани.
§ 52*. Звездчатые многогранники
