"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Модель многогранника помогает представить объёмную фигуру и изучать её устройство, не имея перед собой самого многогранника. Её можно сделать из бумаги по развёртке: многоугольники складываются в грани и образуют поверхность. Другой вариант — каркас из отрезков, показывающий рёбра и вершины. Чтобы модель получилась верной, заранее определяют число и расположение элементов, а при сборке проверяют, замыкается ли поверхность и совпадают ли соединяемые края.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модель многогранника — предметное изображение многогранника, которое помогает изучать его форму и элементы. Это может быть объёмная бумажная фигура или каркас из рёбер. Модель нужна, чтобы представить пространственную фигуру и проверить, как связаны её части.
Развёртка многогранника — плоская фигура, из которой можно сложить поверхность многогранника. Она состоит из многоугольников, каждый из которых станет одной гранью. Развёртка помогает заранее увидеть расположение граней и изготовить бумажную модель.
Каркасная модель — модель, в которой рёбра многогранника изображены отрезками, соединёнными в вершинах. Такой каркас похож на проволочную конструкцию: внутри него нет заполненных граней. Он нужен, чтобы рассматривать соединения рёбер и устройство фигуры в пространстве.
Перед изготовлением модели определяют, какой именно многогранник нужно получить, и считают его грани, рёбра и вершины. Это нужно потому, что модель должна передавать строение фигуры, а не просто напоминать её внешне. Если забыть грань или неверно соединить рёбра, получится другая фигура либо незамкнутая конструкция.
Поверхность многогранника можно мысленно разрезать по некоторым рёбрам и разложить на плоскости. Получившаяся развёртка состоит из многоугольников, которые при складывании снова становятся гранями. Их общие стороны указывают, какие грани должны соединиться, поэтому важно проследить, где именно они соприкасаются.
Одного подходящего количества многоугольников недостаточно, чтобы фигура была развёрткой. При складывании грани должны занять нужные места и образовать замкнутую поверхность: иначе останется отверстие или части наложатся друг на друга. Поэтому развёртку полезно проверить мысленно или сделать пробное складывание из бумаги.
Чтобы изготовить бумажную модель, к некоторым внешним краям развёртки добавляют клапаны — небольшие полоски для склеивания. Затем фигуру вырезают по внешнему контуру, а линии между гранями аккуратно сгибают, не разрезая их. После этого клапаны приклеивают к соответствующим краям, чтобы грани соединились и удерживали форму.
Каркас передаёт строение многогранника через рёбра и вершины, поэтому для него можно использовать отрезки проволоки, соломинки или другого материала. Такая модель позволяет видеть сквозь фигуру и удобно показывает, какие рёбра сходятся в каждой вершине. В отличие от модели с гранями, каркас не показывает сплошную поверхность многогранника.
| Способ | Из чего делают | Что показывает | Что важно проверить |
|---|---|---|---|
| Модель по развёртке | Из бумаги или картона; грани вырезают из общей плоской фигуры и склеивают клапанами. | Грани и замкнутую поверхность многогранника. | Число и расположение граней, линии сгиба, отсутствие наложений и надёжность соединений. |
| Каркасная модель | Из отрезков проволоки, палочек или другого материала, соединённых в вершинах. | Рёбра и вершины, а также их взаимное расположение. | Число рёбер и вершин, длины отрезков и правильность соединений. |
Сначала выберите столбец со способом, который собираетесь использовать, затем сравните материал и то, какие элементы он позволяет увидеть. Последний столбец служит проверочным списком перед сборкой и после неё. Например, если нужно изучить поверхность, выбирайте модель по развёртке, а для рассмотрения рёбер удобнее каркас.
Задача. Сделать модель куба по заданной развёртке из шести квадратов. Нужно указать линии сгиба и края, которые следует соединить. Каждый квадрат при складывании должен стать отдельной гранью куба.
Ответ. Сгибы проводят по общим сторонам квадратов развёртки, не разрезая их. Склеивают соответствующие свободные края с помощью клапанов, после чего грани должны образовать замкнутую поверхность куба.
Задача. Определить, можно ли сложить куб из предложенной фигуры, состоящей из шести квадратов. Само количество квадратов подходит, ведь у куба шесть граней. Но этого ещё недостаточно: нужно проверить расположение частей при складывании.
Ответ. Решение зависит от расположения шести квадратов: подходящую фигуру можно сложить в куб, а неподходящую — нет. Обоснование должно указывать, что при складывании поверхность замыкается без наложений, либо объяснять, где именно возникает наложение или незакрытый участок.
Задача. Спроектировать каркас четырёхугольной пирамиды, если заданы длины её рёбер. Нужно определить число отрезков и места их соединения, чтобы каркас передавал строение пирамиды. У неё есть четырёхугольное основание и одна вершина над ним.
Ответ. Каркас состоит из восьми рёбер: четырёх рёбер основания и четырёх боковых рёбер. Для сборки понадобятся четыре вершины основания и одна вершина пирамиды; длины отрезков берут из условия задачи.
Считать развёрткой любую фигуру из многоугольников нельзя: при складывании части могут наложиться или не закрыть поверхность. Так ошибаются, когда проверяют только число фигур и не прослеживают их положение. Мысленно поднимите грани по рёбрам и убедитесь, что поверхность замыкается без наложений.
Если забыть клапаны, грани могут быть расположены правильно, но бумажные края будет трудно соединить. Это происходит потому, что клапан легко принять за необязательную мелочь, хотя он нужен для склеивания. Перед вырезанием проверьте, предусмотрены ли полоски на тех краях, которые предстоит соединить.
Линии сгиба не следует путать с линиями разреза: разрез по ребру разделит грани и нарушит их соединение. Путаница возникает, если все линии на плоской фигуре выглядят одинаково. До работы отметьте отдельно внешний контур для вырезания и внутренние стороны, по которым заготовку нужно сгибать.
В каркасе нужно учитывать не только видимые на рисунке рёбра, но и те, что закрыты от взгляда. Их пропускают, потому что на плоском изображении часть конструкции может заслоняться. Сверьте число рёбер с устройством многогранника и мысленно рассмотрите каркас с разных сторон.
Чтобы моделировать многогранник, нужно знать, что такое его грани, рёбра и вершины, и уметь распознавать многоугольники. Эти знания помогают понять, какие плоские фигуры станут гранями и как их соединять. Если путать ребро с гранью, будет трудно правильно прочитать развёртку.
Развёртки связаны с изучением площади поверхности: по ним удобно рассматривать и измерять отдельные грани. Их также используют при изготовлении упаковок из картона. Каркасные модели помогают представлять пространственные фигуры и разбираться в их устройстве, в том числе при дальнейшем изучении сечений.
Как понять, что фигура является развёрткой многогранника?
Нужно мысленно или практически сложить многоугольники по общим сторонам. Они должны образовать все грани многогранника, замкнуть его поверхность и не наложиться друг на друга.
Зачем на развёртке нужны клапаны?
Клапаны помогают склеить края бумажной модели. Они не относятся к граням многогранника, поэтому при подсчёте граней их не учитывают.
Могут ли у одного многогранника быть разные развёртки?
Да, одну и ту же поверхность можно разрезать по разным рёбрам и разложить на плоскости разными способами. Поэтому у многогранника может быть несколько развёрток.
Чем каркасная модель отличается от модели с гранями?
Каркас состоит из отрезков, изображающих рёбра, соединённые в вершинах. Модель с гранями показывает ещё и поверхность многогранника, а каркас оставляет её пустой.
Как проверить, правильно ли собрана модель?
Сверьте число граней, рёбер и вершин с устройством заданного многогранника. У бумажной модели проверьте, что поверхность замкнута, грани не наложены и края соединены; у каркаса убедитесь, что все рёбра на месте.
§ 87. Моделирование многогранников
