§ 88. Кристаллы — природные многогранники

Определения и обозначения

Кристалл — природное твёрдое тело с упорядоченным внутренним строением, часто имеющее плоские грани и правильную форму. Частицы в нём расположены не случайно, а образуют повторяющийся порядок. Это определение нужно, чтобы отличать кристалл от любого твёрдого камня или кусочка вещества.

Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Куб, призма и пирамида являются примерами многогранников. Такое понятие позволяет описывать форму кристалла с помощью точных геометрических свойств.

Грань — многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника. В кристалле грань выглядит как плоский участок наружной поверхности. По граням можно определить форму модели и подсчитать, сколько многоугольников её образует.

Ребро — отрезок, по которому пересекаются две грани многогранника. На кристалле ребро заметно как линия или граница между соседними плоскими участками. В местах встречи нескольких рёбер находятся вершины.

Как это устроено

Внутри вещества частицы располагаются упорядоченно: атомы или молекулы повторяют определённую схему. При росте кристалла новые частицы присоединяются к уже существующим в подходящих местах. Из-за этого наружные слои выстраиваются ровнее, и на поверхности возникают плоские участки — грани.

Кристаллы одного и того же вещества имеют сходную форму, потому что их частицы соединяются по одной и той же внутренней схеме. Но скорость роста и количество вещества могут быть разными. Поэтому у двух похожих кристаллов углы и вид граней близки, а длины рёбер и общий размер различаются.

В кристалле, похожем на многогранник, плоские участки являются гранями. Линия встречи двух граней образует ребро, а точка, в которой сходятся несколько рёбер, называется вершиной. Если посмотреть на модель с разных сторон, нужно учитывать и передние, и задние элементы.

Форма граней, величины углов и число элементов зависят от внутреннего строения вещества. Частицы могут образовывать разные повторяющиеся решётки, а каждой решётке соответствует свой способ роста. Поэтому один кристалл напоминает куб, другой — призму или многогранную пирамиду.

Реальный природный образец редко бывает совершенно правильным: его грани могут быть повреждены, а рост — нарушен примесями. Идеальная геометрическая модель сохраняет главные свойства формы и убирает случайные неровности. Благодаря этому можно считать грани, рёбра и вершины, сравнивать кристаллы и применять формулы многогранников.

Элементы кристалла как многогранника

Пользуясь таблицей, сначала найдите плоские участки, затем линии их пересечения и точки встречи линий. После этого можно описать углы и общую форму кристалла. Для объёмной модели рассматривайте её со всех сторон, чтобы не пропустить скрытые элементы.

Разбор задач

Задача 1

Условие: модель кристалла имеет форму куба. Нужно определить число граней, рёбер и вершин. Куб удобно рассматривать как многогранник с шестью одинаковыми квадратными гранями.

1. У куба две грани сверху и снизу, а также четыре боковые грани. Значит, граней 6.
2. У каждой из четырёх боковых граней есть вертикальные рёбра, всего их 4, а верхний и нижний контуры дают ещё 8 рёбер. Получаем 12 рёбер.
3. Вершины находятся в углах куба: по 4 сверху и снизу. Значит, вершин 8.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин.

Задача 2

Условие: кристалл имеет форму треугольной призмы. Нужно найти число граней, рёбер и вершин, а затем проверить формулу Эйлера В − Р + Г = 2.

1. У призмы два треугольных основания и три боковые грани. Поэтому Г = 2 + 3 = 5.
2. В каждом треугольном основании 3 вершины, значит, всего В = 3 · 2 = 6. Три вершины одного основания соединяются с соответствующими вершинами другого, поэтому боковых рёбер 3; вместе с 6 рёбрами оснований получаем Р = 9.
3. Подставим числа в формулу: 6 − 9 + 5 = 2. Равенство выполняется.

Ответ: 5 граней, 9 рёбер, 6 вершин; формула Эйлера подтверждена.

Задача 3

Условие: модель кристалла имеет форму правильного октаэдра. Нужно определить её элементы и сравнить модель с кубом. Октаэдр состоит из восьми одинаковых треугольных граней.

1. По условию число граней равно 8.
2. У каждой грани 3 ребра, но каждое ребро принадлежит двум граням. Поэтому Р = 8 · 3 : 2 = 12.
3. У октаэдра 6 вершин. Это также проверяется по формуле: В = 2 + Р − Г = 2 + 12 − 8 = 6.
4. У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Значит, у обеих моделей по 12 рёбер, но у октаэдра больше граней, а у куба больше вершин.

Ответ: у октаэдра 8 граней, 12 рёбер и 6 вершин; его элементы отличаются от элементов куба.

Типичные ошибки

Иногда плоские участки поверхности принимают за отдельные кристаллы. Так происходит, если рассматривают только внешний вид образца, а не всё тело. Проверьте себя: один кристалл может иметь много граней, соединённых общими рёбрами.

Ребро путают с гранью, потому что оба элемента видны на границе поверхности. Но грань занимает площадь и является многоугольником, а ребро имеет только длину и служит границей двух граней. Для проверки спросите себя, можно ли назвать найденный элемент плоским участком.

При подсчёте часто не замечают вершины с обратной стороны модели. Видимые элементы не всегда составляют весь многогранник. Поверните модель мысленно или нарисуйте её каркас, а затем пересчитайте вершины и рёбра.

Любую правильную снаружи форму иногда называют кристаллом. Однако геометрическая правильность ещё не доказывает упорядоченное внутреннее строение. Проверяйте, идёт ли речь о природном веществе с кристаллической структурой или только о внешне похожем предмете.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны знания о многоугольниках, призмах и пирамидах, а также о гранях, рёбрах и вершинах. Эти понятия помогают переводить наблюдение за кристаллом на язык геометрии.

Дальше знания пригодятся при изучении площадей поверхностей и объёмов многогранников. Зная форму модели и размеры её элементов, можно выполнять геометрические вычисления.

Тема связана с химией, физикой и минералогией. В этих предметах изучают строение веществ, условия образования кристаллов и зависимость их свойств от внутреннего порядка.

Что запомнить

• Кристалл — природное тело с упорядоченным внутренним строением.
• Многие кристаллы имеют форму многогранников.
• Гранями кристалла являются плоские многоугольники.
• Рёбра образуются при пересечении двух граней.
• Вершины образуются при пересечении рёбер.
• Форма кристалла связана с внутренним строением вещества.
• Геометрическая модель помогает изучать реальные кристаллы.