§ 89. Ориентация плоскости. Лист Мёбиуса

Определения и обозначения

Ориентация плоскости — выбор одного из двух направлений обхода: по часовой стрелке или против неё. Это позволяет согласованно определять, в какую сторону обходить фигуры на плоскости. Например, если смотреть на циферблат, движение от верхней отметки к правой идёт по часовой стрелке.

Ориентированная пара направлений — два непараллельных направленных отрезка или линии, порядок которых задаёт ориентацию плоскости. Сначала выбирают первое направление, затем второе, и при перестановке этой пары ориентация меняется. Такое определение нужно, чтобы сравнивать ориентации даже там, где нет часов или заранее выбранного обхода.

Лист Мёбиуса — поверхность, полученная из прямоугольной полоски, если повернуть один её конец на половину оборота и склеить с другим. Полуоборот — это поворот на 180°. Эта модель помогает изучать поверхности, устроенные не так, как обычная плоскость или цилиндр.

Односторонняя поверхность — поверхность, на которой нельзя непрерывно выделить две разные стороны. Если вести по ней линию, не отрываясь и не перепрыгивая через край, можно перейти на место, которое до склеивания относилось к другой стороне полоски. Поэтому важно различать сторону исходного материала и сторону уже склеенной поверхности.

Как это устроено

Чтобы задать ориентацию плоскости, выбирают два непараллельных направления и устанавливают порядок: первое, затем второе. Представьте стрелки, выходящие из одной точки. Если мысленно поворачивать первую стрелку ко второй, можно определить, в какую сторону происходит поворот, и тем самым выбрать направление обхода. При перестановке стрелок порядок становится обратным, поэтому меняется и заданная ориентация. Одна стрелка этого не позволяет: по ней можно двигаться туда или обратно, но сравнить направления обхода нельзя.

Поворот сохраняет ориентацию, потому что поворачивает обе стрелки вместе и не меняет их порядок. Во время поворота они не отражаются и не меняются местами, так что выбранное направление обхода остаётся тем же. Зеркальное отражение действует иначе: оно переносит фигуру на другую сторону зеркальной линии. При этом порядок направлений обращается, поэтому обход, который был по часовой стрелке, становится обходом против часовой стрелки. Отсюда можно отличить поворот от отражения, даже если после преобразования отдельная фигура выглядит похоже.

Для листа Мёбиуса возьмите длинную бумажную полоску и поверните один её конец на 180° относительно другого. Затем соедините короткие концы скотчем так, чтобы края совпали. Из-за полуоборота верхняя сторона одного конца соединяется с нижней стороной другого. Если соединить концы без поворота, верхняя сторона встретится с верхней, а нижняя — с нижней; получится цилиндр с двумя сторонами, а не лист Мёбиуса.

Теперь проведите пальцем или карандашом по средней линии листа Мёбиуса. Продолжайте движение, не отрываясь от бумаги: после одного полного обхода линия окажется на месте, которое сначала было другой стороной полоски, а после следующего обхода вернётся к исходному месту. Причина в полуобороте при склеивании: переход через шов переводит движение с одной стороны исходной полоски на другую. Поэтому нельзя всё время оставаться на прежней стороне и при этом пройти по средней линии до возвращения к исходной точке.

У полоски до склеивания две стороны и два длинных края. При склеивании с полуоборотом верхняя и нижняя стороны переходят одна в другую, поэтому становятся одной непрерывной поверхностью. То же происходит с краями: каждый из двух длинных краёв продолжается в другой, и в итоге образуется один замкнутый край. На цилиндре такого склеивания сторон нет: его две поверхности остаются различимыми, а края полоски образуют два отдельных замкнутых края.

Сравнение плоскости, цилиндра и листа Мёбиуса

Сравнивайте поверхности по строкам: так видно, что полуоборот при склеивании меняет число сторон и краёв. Плоскость в таблице не получается склеиванием концов полоски — она нужна для сравнения. Если нужно проверить, цилиндр перед вами или лист Мёбиуса, проследите одну сторону поверхности, не пересекая край.

Разбор задач

1. Сравнение ориентаций

На плоскости заданы две пары направлений: во второй паре первое направление является образом первого при зеркальном отражении. Определите, совпадают ли ориентации пар.

1. Ориентация каждой пары определяется не одним направлением, а порядком двух непараллельных направлений. Поэтому сравниваем, как преобразование действует на всю пару.

2. Зеркальное отражение обращает порядок направлений: то, что задавало один обход, после отражения задаёт противоположный. Значит, ориентация образа не совпадает с исходной.

3. Проверьте вывод на обходе фигуры: отражённый обход по часовой стрелке будет направлен против часовой стрелки.

Ответ: ориентации не совпадают, зеркальное отражение меняет ориентацию на противоположную.

2. Линия по середине листа

Из бумажной полоски изготовьте лист Мёбиуса. Проведите линию по середине полоски и проследите её до возвращения в исходную точку. Сколько раз линия пройдёт по каждой стороне?

1. Склейте концы полоски после полуоборота и проведите линию по центру, не касаясь длинных краёв. Так линия не сможет случайно перейти на другую часть из-за пересечения края.

2. Проследите линию через место склейки. Из-за полуоборота она перейдёт на участок, который до склеивания относился к другой стороне полоски.

3. Продолжите движение, пока линия не вернётся точно в начальную точку. Для полного возвращения она обойдёт поверхность дважды относительно первоначальной длины полоски.

Ответ: линия пройдёт по каждой стороне исходной полоски по одному разу, а затем вернётся в начальную точку.

3. Разрезание листа Мёбиуса

Разрежьте лист Мёбиуса вдоль средней линии. Опишите получившуюся фигуру: число частей, длину и число полуоборотов.

1. Разрезайте непрерывно по линии, расположенной посередине полоски, и не перерезайте её поперёк. Так разрез проходит вдоль всей средней линии поверхности.

2. Линия проходит по обеим сторонам исходной полоски и замыкается сама на себя. Поэтому разрез не делит поверхность на две отдельные полоски.

3. После разрезания края каждой половины исходной ширины соединяются в одну более длинную полосу. Проследите склеивание: на ней оказываются два полуоборота, а длина замкнутой полоски становится примерно вдвое больше длины края исходного листа.

Ответ: получается одна замкнутая полоска примерно вдвое длиннее исходного края, с двумя полуоборотами.

Типичные ошибки

• Считать, что ориентацию задаёт направление одной прямой. Это кажется достаточным, потому что направление уже отмечено стрелкой, но стрелка не задаёт направление обхода всей плоскости. Проверьте себя: для ориентации должна быть задана пара непараллельных направлений, причём важен их порядок.

• Путать поворот с зеркальным отражением. Оба преобразования меняют положение фигуры, однако отражение переворачивает порядок направлений, а поворот — нет. Чтобы проверить себя, проследите, станет ли обход по часовой стрелке обходом против неё.

• Называть лист Мёбиуса двусторонним, потому что у полоски до склеивания были две видимые поверхности. После склеивания с полуоборотом эти поверхности соединяются в одну, но это не сразу заметно на небольшом кусочке. Проведите непрерывную линию по поверхности: она перейдёт на обе стороны исходной бумаги.

• Изображать лист Мёбиуса, склеивая концы без полуоборота. Так легко ошибиться, если нарисовать только соединённую полоску и не отметить её перекрут. Проверьте модель: без поворота получается цилиндр с двумя сторонами, а для листа Мёбиуса перед склеиванием нужен полуоборот.

Связь с другими темами

Для понимания ориентации пригодятся понятия луча, направления и угла: с их помощью можно описать, как одна стрелка расположена относительно другой. Движение плоскости и зеркальное отражение помогают сравнить, что сохраняется при преобразовании фигуры, а что меняется. Позже эти идеи пригодятся при изучении симметрии и свойств поверхностей. Лист Мёбиуса также показывает, что форма поверхности зависит не только от материала, но и от способа соединения его частей.

Что запомнить

• Ориентация плоскости определяется выбором направления обхода.
• Порядок двух непараллельных направлений важен.
• Поворот сохраняет ориентацию.
• Зеркальное отражение меняет ориентацию.
• Лист Мёбиуса получают склеиванием концов полоски после полуоборота.
• Лист Мёбиуса имеет одну сторону и один край.
• Без полуоборота при склеивании получается цилиндр.