§ 90. Площадь поверхности и объём

Определения и обозначения

Площадь поверхности — суммарная площадь всех граней многогранника. Она показывает, сколько материала нужно, чтобы покрыть тело снаружи, например бумагой или краской. Площадь поверхности обозначают буквой S и выражают в квадратных единицах.

Объём — величина, показывающая, сколько места занимает тело в пространстве. Его можно представить как число одинаковых единичных кубов, которыми полностью заполнено тело без промежутков. Объём обычно обозначают буквой V.

Единица объёма — объём куба, ребро которого равно единице длины. Так, куб со стороной 1 см имеет объём 1 см³, а куб со стороной 1 м — 1 м³. Значит, сантиметрам соответствуют кубические сантиметры, метрам — кубические метры, дециметрам — кубические дециметры.

Прямоугольный параллелепипед — тело, все грани которого являются прямоугольниками. Его три измерения обозначим буквами a, b и c: длину, ширину и высоту. На его примере удобно вывести формулы площади поверхности и объёма.

Как это устроено

Площадь поверхности многогранника находят сложением площадей всех его граней, потому что каждая грань является отдельной частью наружной оболочки. Если грани равны, достаточно найти площадь одной из них и умножить на число таких граней. Например, у прямоугольного параллелепипеда есть три пары равных противоположных граней, поэтому учитываются площади трёх разных прямоугольников, взятые по два раза.

Чтобы понять объём, прямоугольный параллелепипед мысленно разбивают на кубики с ребром 1 единица. Вдоль длины помещается a кубиков, вдоль ширины — b, поэтому в одном нижнем слое их будет ab. Таких одинаковых слоёв по высоте c, значит, общее число кубиков равно произведению ab на c.

Подсчёт единичных кубов и даёт формулу объёма: V = abc. Здесь a, b и c должны быть выражены в одной единице длины, например все в сантиметрах. Тогда каждый мысленный куб имеет объём 1 см³, а результат автоматически получается в кубических сантиметрах.

У прямоугольного параллелепипеда есть грани площадей ab, bc и ac. Каждая из них встречается дважды: противоположные грани равны, поэтому S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2(ab + bc + ac). Формула учитывает все шесть граней, а не только видимые с одной стороны.

Площадь поверхности и объём зависят от размеров тела по-разному. Площадь измеряет наружную оболочку и выражается квадратными единицами, а объём измеряет занимаемое пространство и выражается кубическими единицами. Если увеличить каждое измерение в k раз, площадь увеличится в k² раз, а объём — в k³ раз.

Площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда

Сначала определите, какую величину требует задача: наружную площадь или внутренний объём. Затем выберите соответствующую формулу и проверьте единицы измерения.

Таблица также помогает сравнить, как размеры влияют на результат. При изменении только одного измерения формулы нужно применять с его новым значением.

Разбор задач

Задача 1

Условие: найти площадь поверхности куба с ребром 3 см. Идея: у куба шесть одинаковых квадратных граней, поэтому достаточно найти площадь одной грани и умножить её на 6.

1. Площадь одной грани: 3 · 3 = 9 см².
2. Площадь всех граней: S = 9 · 6 = 54 см².

Ответ: 54 см².

Задача 2

Условие: прямоугольный параллелепипед имеет измерения 4 см, 5 см и 7 см. Нужно найти его объём. Идея: объём равен числу единичных кубиков, поэтому перемножаем три измерения.

1. Записываем формулу: V = abc.
2. Подставляем значения: V = 4 · 5 · 7.
3. Вычисляем: V = 140 см³.

Ответ: 140 см³.

Задача 3

Условие: длина параллелепипеда 8 см, ширина 5 см, объём 240 см³. Найти высоту и площадь поверхности. Идея: сначала найдём недостающее измерение из формулы объёма, затем используем все три измерения для площади.

1. Из V = abc выразим высоту: c = V : (ab).
2. Подставим данные: c = 240 : (8 · 5) = 6 см.
3. Найдём площадь поверхности: S = 2(8 · 5 + 5 · 6 + 8 · 6).
4. Вычислим: S = 2(40 + 30 + 48) = 236 см².

Ответ: высота 6 см, площадь поверхности 236 см².

Типичные ошибки

Складывают площади только трёх граней. Так делают, потому что видят три грани на изображении, но у тела шесть граней. Проверьте себя: у каждой из трёх найденных площадей должна быть равная противоположная грань, поэтому в формуле появляется множитель 2.

Путают площадь поверхности и объём. Площадь находят по граням, а объём — по трём измерениям тела. Если речь идёт о покрытии, выбирайте S, а если о вместимости или заполнении кубиками — V.

Записывают неправильные единицы. При площади нужны квадратные единицы, а при объёме — кубические. Проверяйте показатель: результат вида см² относится к площади, а см³ — к объёму.

Не приводят единицы к общим. Нельзя без подготовки перемножать, например, сантиметры и метры. Сначала переведите все размеры в одну единицу, после чего выполните вычисления.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь находить площадь прямоугольника и квадрата, умножать длины и переводить единицы измерения. Эти навыки позволяют вывести обе формулы и правильно оформить ответ.

Площадь поверхности и объём используются при изучении других многогранников и тел вращения. В жизни они помогают рассчитывать количество материала для упаковки, площадь окраски и вместимость предметов.

Формула V = abc связывает геометрические размеры с единицами объёма, которые встречаются в арифметике. Поэтому важно различать квадратные и кубические единицы.

Что запомнить

• Площадь поверхности многогранника — сумма площадей всех его граней.
• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Объём прямоугольного параллелепипеда: V = abc.
• Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac).
• Площадь выражают в квадратных единицах, объём — в кубических.
• Перед вычислением размеры приводят к одинаковым единицам.