"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Координаты позволяют находить расстояние между точками в пространстве и описывать сферу с помощью уравнения. Расстояние вычисляют по разностям соответствующих координат: их квадраты складывают и извлекают корень. Сфера состоит из точек, удалённых от её центра на один и тот же радиус. Поэтому уравнение сферы получается, если приравнять квадрат расстояния от произвольной точки до центра к квадрату радиуса. По такому уравнению можно определить центр, радиус и проверить, лежит ли заданная точка на сфере.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние между двумя точками в пространстве — длина отрезка, который их соединяет. Его находят по координатам: вычисляют разности координат точек для каждой оси, возводят эти разности в квадрат, складывают и извлекают квадратный корень. Такая формула переводит координатные данные в обычную геометрическую длину.
Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной заданной точки. Эта точка называется центром сферы, а одинаковое расстояние от неё до каждой точки сферы — радиусом. Центр и радиус нужны, чтобы точно задать положение и размер сферы.
Уравнение сферы — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы и только они. Если координаты точки после подстановки делают равенство верным, точка лежит на сфере; если нет — не лежит. Уравнение позволяет описывать геометрическую фигуру с помощью чисел и проверять принадлежность точек.
Координаты центра сферы — числа a, b и c, задающие положение центра C(a, b, c) по трём осям. Каждое из них показывает положение центра в своём направлении. Они входят в уравнение вместе с соответствующими координатами произвольной точки.
Соединяющий две точки отрезок можно мысленно разложить на перемещения вдоль осей координат. Проекция отрезка на ось x определяется разностью x₂ − x₁, на ось y — разностью y₂ − y₁, а на ось z — разностью z₂ − z₁. Знак разности показывает направление перемещения, а её модуль — длину проекции. Так координатные различия описывают отрезок по трём взаимно перпендикулярным направлениям.
Сначала рассмотрим две координаты на плоскости. Проекции отрезка на оси x и y образуют с ним прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора квадрат длины отрезка равен сумме квадратов проекций. Чтобы получить саму длину, нужно извлечь квадратный корень из этой суммы. Так возникает формула расстояния на плоскости.
В пространстве к двум плоским направлениям добавляется третья координата z. Можно сначала найти длину проекции отрезка на плоскость xy, а затем рассмотреть прямоугольный треугольник, где эта проекция и разность координат z — катеты. Второе применение теоремы Пифагора даёт квадрат длины отрезка как сумму квадратов всех трёх координатных разностей. Поэтому для A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) получаем AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
По определению любая точка сферы находится на расстоянии R от её центра C(a, b, c). Если обозначить координаты произвольной точки сферы через (x, y, z) и применить формулу расстояния, получим √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²) = R. Возведение обеих частей в квадрат убирает корень и приводит к уравнению сферы: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Равенство выполняется именно для точек на расстоянии R от центра.
Чтобы прочитать уравнение, сравните его с общей записью сферы и найдите числа a, b, c и R². Например, скобка (x + 2)² означает x − (−2), поэтому первая координата центра равна −2. Радиус — положительный квадратный корень из правой части. Для проверки точки подставьте её координаты в левую часть и сравните результат с R²: равенство означает, что точка принадлежит сфере.
| Объект | Запись | Что показывает |
|---|---|---|
| Расстояние между A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) | Длину отрезка между точками |
| Сфера с центром C(a, b, c) и радиусом R | (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² | Все точки, удалённые от центра на R |
| Проверка принадлежности точки сфере | (x₀ − a)² + (y₀ − b)² + (z₀ − c)² = R² | Точка лежит на сфере, если равенство верно |
В первой строке подставляйте координаты точек в порядке x, y, z: сравнивать можно только координаты одной оси. Во второй строке координаты центра читаются из скобок, а радиус — из правой части. В третьей строке вместо переменных подставляются координаты проверяемой точки.
Найти расстояние между точками A(1, 2, 3) и B(4, 6, 3). Сначала сопоставим координаты по одноимённым осям: x с x, y с y, z с z. Третьи координаты совпадают, поэтому отрезок не имеет проекции вдоль оси z. Используем формулу расстояния в пространстве.
Ответ: AB = 5. Совпадение координат z убрало одно слагаемое, а оставшиеся разности образовали знакомую тройку 3, 4, 5. В конце мы нашли именно длину, поэтому извлекли корень из суммы квадратов.
Записать уравнение сферы с центром C(−2, 1, 3) и радиусом 4. Сравним данные с общей формой уравнения сферы, чтобы каждой координате центра поставить в соответствие свою скобку. Внутри скобок записывается координата точки минус координата центра. Справа должен стоять квадрат радиуса, а не сам радиус.
Ответ: (x + 2)² + (y − 1)² + (z − 3)² = 16. В первой скобке стоит плюс, потому что координата центра по оси x отрицательна. Проверить запись можно, подставив координаты центра: левая часть станет равна нулю.
Проверить, лежит ли точка M(1, 2, 3) на сфере (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 9, и определить центр и радиус сферы. Сначала приводим скобки к стандартному виду: (y + 1)² — это (y − (−1))². Так становится понятна вторая координата центра; правая часть задаёт квадрат радиуса.
Ответ: центр C(1, −1, 2), радиус 3; точка M на сфере не лежит. Для проверки сравнивают результат подстановки с R², то есть с 9, а не с самим радиусом 3. Это условие следует из уравнения сферы.
Забывают извлечь квадратный корень и принимают сумму квадратов разностей за расстояние. Так происходит потому, что промежуточное равенство с теоремой Пифагора задаёт квадрат длины. После вычисления суммы нужно проверить, записано ли расстояние или его квадрат; если требуется длина, извлеките корень.
Вычитают координаты разных осей друг из друга, например x₂ − y₁. Такая ошибка возникает, когда не следят за порядком чисел в координатных тройках. Сопоставляйте только координаты одной оси: x с x, y с y и z с z; полезно подписать ось у каждого слагаемого.
Записывают координаты центра с неправильными знаками или без скобок. Причина — неверное чтение выражения x − a: если a отрицательно, получится x плюс число, как в x − (−2) = x + 2. Для самопроверки раскройте смысл скобки и убедитесь, что при подстановке координаты центра каждое слагаемое становится нулём.
При проверке точки сравнивают левую часть уравнения с R, а не с R². Это происходит, если забыть, что справа записан квадрат радиуса. Сначала определите, чему равна правая часть, а затем сравните вычисленную сумму именно с ней; радиус извлекают из неё только при необходимости.
Для работы нужны координаты точек в пространстве, умение находить разность чисел и теорема Пифагора. Они позволяют перейти от положения точек по осям к длине отрезка. Поэтому формула расстояния связывает координатное описание с геометрической длиной.
Уравнение сферы строится на формуле расстояния и определении равноудалённых от центра точек. Оно пригодится в задачах о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Умение подставлять координаты помогает проверять геометрические условия вычислениями.
Почему в формуле расстояния координатные разности возводятся в квадрат?
Разности координат задают длины проекций отрезка на оси, а теорема Пифагора связывает эти длины с длиной самого отрезка. Квадраты позволяют сложить вклады всех трёх взаимно перпендикулярных направлений.
Как найти расстояние между точками, если одна из координат совпадает?
Разность совпадающих координат равна нулю, поэтому соответствующее слагаемое в формуле исчезает. Остальные разности нужно возвести в квадрат, сложить и извлечь квадратный корень.
Как по уравнению сферы определить её центр и радиус?
Приведите уравнение к виду (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Центр имеет координаты C(a, b, c), а радиус равен положительному корню из правой части.
Почему координаты центра в уравнении стоят со знаком минус?
В каждой скобке записана разность между координатой произвольной точки и координатой центра по той же оси. Поэтому, например, координате центра a соответствует выражение x − a; если a отрицательно, получится знак плюс.
Как проверить, лежит ли заданная точка на сфере?
Подставьте координаты точки вместо x, y и z в левую часть уравнения. Если результат равен R², точка лежит на сфере; если нет — не лежит.
8.2. Формула расстояния между двумя точками. Уравнение сферы
