"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Декартовы координаты помогают точно задавать положение точки в пространстве тремя числами: (x; y; z). Для этого выбирают три взаимно перпендикулярные оси с общим началом. По координатам можно определить, лежит ли точка на оси или в координатной плоскости, а также найти расстояние между двумя точками. Главная формула получается из теоремы Пифагора и работает так же, даже если поменять точки местами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. Оси обозначают Ox, Oy и Oz, а их общее начало — O. Такая система нужна, чтобы описывать положение точек и сравнивать его по трём направлениям.
Координаты точки — упорядоченная тройка чисел (x; y; z), задающая её положение относительно координатных осей. Первое число относится к оси Ox, второе — к Oy, третье — к Oz. Порядок важен: одинаковые числа в другой последовательности обычно обозначают другую точку.
Координатная плоскость — одна из трёх плоскостей, проходящих через пары координатных осей. Их обозначают Oxy, Oxz и Oyz: например, Oxy содержит оси Ox и Oy. Плоскости помогают описать расположение точки, а также понять, какая координата у неё равна нулю.
Расстояние между точками в пространстве — длина отрезка, который соединяет эти точки. Его вычисляют по разностям соответствующих координат, используя формулу с квадратным корнем. Это позволяет находить длину отрезка, даже когда точки не лежат в одной координатной плоскости.
Чтобы задать систему координат, сначала выбирают точку O — начало отсчёта. Через неё проводят три оси так, чтобы каждая пара была перпендикулярна, и на каждой отмечают положительное направление. Общий перпендикулярный ориентир позволяет однозначно соотносить числа с направлениями, а начало задаёт точку, от которой эти числа отсчитывают.
Положение точки описывают тремя числами, потому что в пространстве есть три независимых направления. Геометрически координаты связаны со знаковыми расстояниями до координатных плоскостей, параллельных плоскостям системы. Например, координата x показывает, с какой стороны и на каком расстоянии точка расположена от плоскости Oyz; аналогично устроены y и z. Знак различает стороны плоскости, а величина числа задаёт расстояние до неё.
Координаты показывают положение точки относительно осей и плоскостей через равенства и нули. Если z = 0, точка не удалена от плоскости Oxy и лежит в ней; если y = 0, она принадлежит Oxz, а если x = 0 — Oyz. Две нулевые координаты означают, что точка лежит на одной из осей. Так, (0; 0; z) — точка оси Oz, поскольку её положение меняется только вдоль этой оси.
Формулу расстояния получают последовательным применением теоремы Пифагора. Разности координат двух точек задают длины перемещений по трём взаимно перпендикулярным направлениям. Сначала можно рассмотреть прямоугольный треугольник в координатной плоскости и найти его гипотенузу по двум разностям; затем применить теорему Пифагора ещё раз, добавив третью разность. Поэтому квадрат расстояния равен сумме квадратов всех трёх разностей.
Формула не зависит от того, какую точку назвали первой. Если поменять A и B местами, каждая разность координат сменит знак, но при возведении в квадрат знак исчезнет: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Значит, сумма под корнем останется той же, и расстояние не изменится. Это соответствует смыслу расстояния: длина отрезка AB равна длине отрезка BA.
| Объект или характеристика | Запись или формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Начало координат | O(0; 0; 0) | Точка пересечения трёх координатных осей |
| Координаты точки | A(x; y; z) | Положение точки по трём направлениям |
| Точка на координатной плоскости | z = 0 — Oxy; y = 0 — Oxz; x = 0 — Oyz | Принадлежность точки плоскости |
| Расстояние между точками | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) | Длину отрезка между точками |
| Расстояние от начала координат до точки | d = √(x² + y² + z²) | Длину отрезка от O до (x; y; z) |
Сначала определите, что требуется найти: принадлежность плоскости, координаты или длину отрезка. Затем выберите соответствующую строку и подставьте значения в запись, сохраняя порядок x, y, z. При вычислении расстояния следите, чтобы возводились в квадрат именно разности соответствующих координат.
Задача 1. Укажите, на какой координатной плоскости лежит точка A(3; −2; 0). Нужно проверить, какая из трёх координат равна нулю, и связать её с плоскостью. Нулевое значение означает, что точка находится непосредственно в плоскости, соответствующей этой координате.
Ответ: точка A лежит в плоскости Oxy. Отрицательное значение y не меняет принадлежность плоскости: для неё важно, что z равно нулю.
Задача 2. Найдите расстояние между A(1; 2; 3) и B(4; 6; 3). Удобно сравнить координаты в одном и том же порядке и найти изменение по каждому направлению. Затем используем формулу расстояния в пространстве.
Ответ: расстояние между точками равно 5. Проверка по теореме Пифагора даёт тот же результат: катеты длиной 3 и 4 образуют гипотенузу длиной 5.
Задача 3. Точка A имеет координаты (−2; 1; 4), а расстояние до точки B на оси Oz равно 5. Требуется найти координаты B. На оси Oz первые две координаты равны нулю, поэтому неизвестной остаётся только третья координата точки B.
Ответ: B(0; 0; 4 + 2√5) или B(0; 0; 4 − 2√5). Два значения возникают потому, что на оси Oz есть две точки, удалённые от A на 5 единиц.
Переставлять координаты местами. Тройка — упорядоченная запись, поэтому (1; 2; 3) и (2; 1; 3) обычно обозначают разные точки. Ошибка возникает, когда числа воспринимают как набор без фиксированных мест. Проверяйте подписи: первое число всегда x, второе y, третье z.
Неверно определять принадлежность плоскости. Точка лежит в координатной плоскости, если нулю равна соответствующая координата: для Oxy это z, для Oxz — y, для Oyz — x. Часто путают название плоскости с названием оси или смотрят только на знак числа. Для проверки выпишите координаты осей, которые образуют нужную плоскость: третья координата в ней равна нулю.
Не возводить разности координат в квадрат. Если просто сложить разности, можно получить отрицательный результат или неверную длину. Это происходит, когда формулу вспоминают как обычную сумму изменений, забывая вывод через теорему Пифагора. Подставляйте выражения в скобках с квадратом и проверяйте, что под корнем стоит неотрицательная сумма квадратов.
Путать координатные оси и плоскости. Ось задаёт одно направление, а координатная плоскость проходит через пару осей. Путаница появляется из-за похожих обозначений: например, Ox — ось, а Oxy — плоскость. Проверка простая: у оси две координаты равны нулю, у плоскости — одна.
Для работы с координатами в пространстве нужны знания о прямоугольной системе координат на плоскости, координатах точки и теореме Пифагора. Пространственная формула расстояния расширяет плоскую: к двум квадратам разностей добавляется третий. Координаты также становятся инструментом при изучении векторов, уравнений прямых и плоскостей и помогают решать стереометрические задачи. В них геометрическое условие можно перевести в вычисления с числами.
Почему для задания точки в пространстве нужны три координаты?
В пространстве точку нужно определить по трём независимым направлениям. Координаты x, y и z показывают её положение относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Двух чисел, как на плоскости, для этого недостаточно.
Как понять, на какой координатной плоскости лежит точка?
Посмотрите, какая координата равна нулю. Если z = 0, точка лежит в плоскости Oxy; если y = 0 — в Oxz; если x = 0 — в Oyz. При двух нулевых координатах точка лежит на оси, общей для двух таких плоскостей.
Что означает отрицательная координата?
Отрицательная координата показывает, что точка расположена по отрицательную сторону от начала координат вдоль соответствующей оси. Например, x < 0 означает, что точка находится на стороне оси Ox, противоположной выбранному положительному направлению. Само расстояние от начала при этом не отрицательно.
Как найти расстояние между двумя точками в пространстве?
Вычтите координаты одной точки из соответствующих координат другой, возведите каждую разность в квадрат и сложите результаты. Затем извлеките квадратный корень: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
Может ли точка одновременно лежать на координатной оси и в координатной плоскости?
Да. Каждая координатная ось лежит сразу в двух координатных плоскостях, поэтому точка на оси принадлежит обеим. Например, точка оси Oz имеет вид (0; 0; z) и лежит в плоскостях Oxz и Oyz.
8.1. Декартовы координаты в пространстве
