"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Координаты позволяют описывать точки и векторы в пространстве числами и решать геометрические задачи с помощью вычислений. Для точки нужны три числа: они показывают её положение вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Вектор тоже задаётся тройкой чисел — проекциями на эти оси. По координатам можно находить сумму и разность векторов, их длины, расстояния между точками и середины отрезков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными направлениями. Оси задают три независимых направления, вдоль которых можно измерить положение объекта. Такая система нужна, чтобы описывать пространство числами и применять вычисления в геометрии.
Координаты точки — три числа, задающие её положение относительно осей: A(x; y; z). Первое число показывает смещение вдоль первой оси, второе — вдоль второй, третье — вдоль третьей. Тройка координат позволяет отличить точку от любой другой и точно указать её место в пространстве.
Координаты вектора — три числа, показывающие его проекции на координатные оси: a = (a₁; a₂; a₃). Они описывают, насколько и в каком направлении вектор смещает точку по каждой оси. Это представление позволяет выполнять действия с векторами, не строя каждый раз пространственный чертёж.
Равные векторы — векторы с одинаковыми координатами; их длины и направления совпадают. Их начала могут находиться в разных точках, но перенос одного вектора параллельно самому себе не меняет его координат. Поэтому равенство векторов можно проверять сравнением трёх соответствующих чисел.
На плоскости положение точки задают два числа, потому что достаточно смещения в двух независимых направлениях. В пространстве к ним добавляется ещё одно направление, перпендикулярное первым двум, поэтому нужны три координаты. Если знать только две, точка может оказаться в любом месте вдоль третьего направления, и её положение останется неопределённым.
Координаты точки связаны с её проекциями на координатные плоскости и оси. Проекция — это «тень» точки на плоскости или оси, полученная при опускании перпендикуляра; она показывает, какие координаты сохраняются, а какая становится нулевой. Например, проекция точки A(x; y; z) на плоскость xy имеет координаты (x; y; 0), а на ось x — (x; 0; 0). Так координатные плоскости помогают увидеть, как тройка чисел описывает положение точки в объёмном пространстве.
Координаты вектора AB получают вычитанием координат начала из координат конца: если A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Причина в том, что вектор описывает изменение положения: чтобы узнать смещение по оси, нужно из конечного значения вычесть начальное. Например, если координата точки выросла с 2 до 5, смещение равно 5 − 2 = 3; тот же принцип работает отдельно для всех трёх осей.
Действия с векторами выполняют покоординатно, то есть отдельно для каждого из трёх чисел. Если a = (a₁; a₂; a₃), b = (b₁; b₂; b₃), то a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃), а a − b = (a₁ − b₁; a₂ − b₂; a₃ − b₃). При умножении на число k каждую координату умножают на k: ka = (ka₁; ka₂; ka₃). Это согласуется со смыслом координат: складываются или изменяются смещения по каждому направлению.
Формулы длины вектора и расстояния между точками следуют из теоремы Пифагора. Сначала для двух перпендикулярных направлений получают квадрат длины как сумму квадратов координат, затем добавляют третье перпендикулярное направление. Поэтому для a = (a₁; a₂; a₃) длина равна √(a₁² + a₂² + a₃²). Расстояние между A и B находят как длину AB, подставляя в формулу разности координат: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
| Объект | Обозначение | Что задают координаты | Основная формула |
|---|---|---|---|
| Точка | A(x; y; z) | Положение в пространстве | Три координаты x, y, z |
| Вектор с началом в начале координат | OA = (x; y; z) | Смещение от начала координат | Координаты конца A |
| Вектор с произвольными началом и концом | AB | Смещение от A к B | (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) |
| Длина вектора | |a| | Размер вектора | √(a₁² + a₂² + a₃²) |
| Расстояние между точками | AB | Длина отрезка между A и B | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
Сначала определите, что именно задано: положение точки или смещение вектора. Если вектор соединяет две точки, сначала найдите три разности, а затем при необходимости вычислите его длину. Формулы длины и расстояния отличаются только тем, что для расстояния сначала находят координаты соединяющего точки вектора.
Вычисления с координатами удобно выполнять по одному направлению за раз. Записывайте промежуточные значения в том же порядке, что и координаты: сначала x, затем y, потом z. Это помогает не перепутать знаки и не потерять одну из координат.
Даны точки A(2; −1; 3) и B(5; 2; 1). Найдите координаты вектора AB. Вектор направлен от A к B, значит, для каждой координаты нужно вычесть значение точки A из значения точки B. Получаем разности 5 − 2, 2 − (−1) и 1 − 3.
Объединяем найденные значения вектором в том же порядке, что и координаты точек. Ответ: AB = (3; 3; −2).
Даны векторы a = (1; −2; 3) и b = (2; 1; −1). Найдите 2a − b и длину вектора a. Сначала отдельно умножим каждую координату a на 2, затем вычтем соответствующую координату b. Для длины подставим координаты a в формулу, основанную на теореме Пифагора.
При вычитании отрицательной третьей координаты получается сложение, поэтому третья координата результата равна 7. Ответ: 2a − b = (0; −5; 7), |a| = √14.
Найдите расстояние между точками A(−1; 2; 4) и B(3; −1; 2), а затем координаты середины отрезка AB. Для расстояния сначала определим смещение от A к B, а потом найдём длину этого вектора. Для середины нужно усреднить координаты концов отдельно по каждому направлению.
Проверить вычисления расстояния можно по квадратам разностей: здесь они равны 16, 9 и 4, а их сумма — 29. Ответ: расстояние AB равно √29, середина отрезка имеет координаты (1; ½; 3).
Первая ошибка — путать координаты точки с координатами вектора. Координаты A показывают её положение, а координаты AB — изменение положения при переходе от A к B. Путаница возникает потому, что в обоих случаях записывают тройку чисел; проверяйте смысл записи и то, обозначена ли точка или вектор.
Вторая ошибка — менять порядок вычитания при нахождении координат AB. Если из координат A вычесть координаты B, получится вектор BA, то есть тот же путь, но в противоположную сторону. Перед вычислением проговорите направление «из A в B» и проверьте, что в каждой разности первым стоит значение конца.
Третья ошибка — забыть одну из координат при сложении, вычитании векторов или вычислении длины. Обычно это происходит, когда вычисления записывают в строку и теряют последний элемент. Сверьте число координат в исходных векторах и ответе: в пространстве их должно быть три.
Четвёртая ошибка — считать длину вектора суммой модулей координат. Такая сумма не учитывает прямоугольный треугольник, который образуют составляющие вектора, поэтому вместо неё используют корень из суммы квадратов. Проверка простая: для a = (a₁; a₂; a₃) примените формулу √(a₁² + a₂² + a₃²), а не |a₁| + |a₂| + |a₃|.
Для работы с координатами в пространстве нужны координаты точек на плоскости, теорема Пифагора и действия с векторами. Они помогают понять, откуда берутся три координаты, как складывать смещения и почему формула длины содержит квадраты. Координатный метод затем применяют в задачах на расстояния, середины отрезков и взаимное расположение фигур в пространстве. Он также подготавливает к изучению скалярного произведения и уравнений геометрических объектов.
Почему для задания точки в пространстве нужны три координаты?
В пространстве есть три независимых направления: например, вправо-влево, вперёд-назад и вверх-вниз. Чтобы указать положение точки, нужно сообщить её смещение по каждому из них. Двух координат достаточно только для плоскости.
Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?
Из каждой координаты конца вычитают соответствующую координату начала. Если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Порядок важен: при перестановке точек получится вектор BA.
Могут ли разные точки иметь одинаковые координаты?
Нет, в одной и той же системе координат каждой точке соответствует единственная тройка координат. Если координаты совпадают, то совпадают и положения точек. Разные тройки, наоборот, задают разные точки.
Как вычислить длину вектора по его координатам?
Нужно возвести каждую из трёх координат в квадрат, сложить квадраты и извлечь корень. Для вектора a = (a₁; a₂; a₃) длина равна √(a₁² + a₂² + a₃²).
Чем координаты точки отличаются от координат вектора?
Координаты точки задают её положение относительно начала координат. Координаты вектора показывают его смещение по трём направлениям и не зависят от того, где именно он расположен. Поэтому для вектора между двумя точками берут разности координат конца и начала.
8. Координаты и векторы в пространстве
