"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Правильные многогранники связаны не только одинаковым устройством граней, но и отношениями двойственности. Всего существует пять таких выпуклых тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Символ Шлефли показывает, сколько сторон у каждой грани и сколько граней сходится в вершине. При построении двойственного тела вершины и грани меняются ролями, а рёбра сохраняются. Эти связи помогают сравнивать многогранники и находить их характеристики.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Иными словами, у такого тела нет выделенных граней или вершин с иным устройством. Это определение позволяет отличить правильные тела от произвольных многогранников.
Платоновы тела — пять выпуклых правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их названия полезно знать, потому что все возможные выпуклые правильные многогранники входят именно в этот список. Сравнивая эти тела, можно увидеть, как меняются грани, вершины и рёбра.
Двойственный многогранник — многогранник, у которого вершинам исходного тела соответствуют грани, а граням — вершины. Такое соответствие меняет местами два вида элементов, сохраняя рёбра. Оно помогает находить пары тел с взаимосвязанным строением.
Символ Шлефли {p, q} обозначает правильный многогранник: p — число сторон каждой грани, а q — число граней, сходящихся в каждой вершине. Например, запись {4, 3} указывает на квадратные грани и по три грани у каждой вершины. Символ позволяет описать устройство тела двумя числами.
Чтобы грани образовали выпуклый угол в вершине, сумма их плоских углов должна быть меньше 360°. Если она равна 360°, поверхность в этом месте не загибается, а при большей сумме грани не могут сложиться вокруг вершины выпуклого тела. У правильного p-угольника внутренний угол равен (p − 2)·180°/p, а при вершине сходятся q таких углов. Поэтому должно выполняться неравенство q·(p − 2)·180°/p < 360°.
Из этого ограничения, при p ≥ 3 и q ≥ 3, остаются только сочетания {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3} и {3,5}. Например, для шестиугольных граней один угол уже равен 120°, и три таких угла дадут 360°, поэтому выпуклого правильного тела не получится. Так условие на углы исключает почти все варианты ещё до построения фигуры. Именно поэтому список Платоновых тел конечен.
Символы Шлефли связывают параметры с названиями: {3,3} соответствует тетраэдру, {4,3} — кубу, {3,4} — октаэдру, {5,3} — додекаэдру, а {3,5} — икосаэдру. В каждой паре фигур первым числом задан тип грани, вторым — число граней при вершине. Поменять числа местами не значит просто повернуть тело: обычно получается другое правильное многогранное тело. Эта запись помогает быстро различить многогранники с треугольными гранями.
Двойственное тело удобно представлять так: внутри исходного многогранника отмечают центры его граней и соединяют точки, соответствующие соседним граням. Каждой вершине исходника соответствует грань нового тела, а каждой исходной грани — его вершина. Поэтому число вершин нового тела равно числу граней исходного, а число граней — числу вершин исходного. Рёбра соответствуют рёбрам исходной фигуры, так что их количество не меняется.
У тетраэдра четыре грани и четыре вершины, поэтому двойственное тело имеет такое же число тех и других элементов и снова является тетраэдром. У куба восемь вершин и шесть граней, а у октаэдра, соответственно, шесть вершин и восемь граней: эти тела образуют пару. Аналогично, у додекаэдра 20 вершин и 12 граней, а у икосаэдра — 12 вершин и 20 граней. Формула Эйлера V − E + F = 2 сохраняется: перестановка V и F не меняет их сумму, а E остаётся прежним.
| Многогранник | Символ Шлефли | Число вершин V | Число рёбер E | Число граней F | Двойственный многогранник |
|---|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | {3, 3} | 4 | 6 | 4 | Тетраэдр |
| Куб | {4, 3} | 8 | 12 | 6 | Октаэдр |
| Октаэдр | {3, 4} | 6 | 12 | 8 | Куб |
| Додекаэдр | {5, 3} | 20 | 30 | 12 | Икосаэдр |
| Икосаэдр | {3, 5} | 12 | 30 | 20 | Додекаэдр |
Сначала найдите строку нужного многогранника, чтобы увидеть его символ и числа V, E, F. Последний столбец показывает двойственное тело, а перестановка чисел V и F позволяет проверить ответ. Например, для куба 8 вершин и 6 граней, поэтому у его двойственного октаэдра 6 вершин и 8 граней.
Задача 1. У правильного многогранника треугольные грани и по три грани сходятся в каждой вершине. Определите его вид и двойственный многогранник. Сначала важно перевести условие в обозначения, а затем сверить полученный символ со списком пяти тел. После этого можно применить правило двойственности.
У треугольной грани три стороны, значит p = 3. В каждой вершине сходятся три грани, значит q = 3, и символ тела — {3, 3}.
Сочетание {3, 3} соответствует тетраэдру. У него действительно треугольные грани и по три грани у каждой вершины, так что оба условия проверены.
Тетраэдр двойственен самому себе: у него одинаковое число вершин и граней, а двойственное тело снова имеет строение тетраэдра.
Ответ: тетраэдр; его двойственное тело — тетраэдр.
Задача 2. У куба 8 вершин и 6 граней. Найдите числа вершин и граней двойственного многогранника и определите его вид. Здесь не нужно строить новое тело: достаточно поменять местами количества вершин и граней. Чтобы назвать результат, сравним эти числа с характеристиками правильных многогранников.
Для двойственного тела число вершин равно числу граней куба, то есть 6. Число граней равно числу вершин куба, то есть 8.
Число рёбер сохраняется и равно 12. Полученные характеристики 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней совпадают с характеристиками октаэдра.
Значит, двойственное тело куба — октаэдр. Проверка полезна: в символе Шлефли куба {4, 3} числа меняются местами, и получается символ октаэдра {3, 4}.
Ответ: 6 вершин и 8 граней; октаэдр.
Задача 3. У правильного многогранника 20 вершин и 30 рёбер. Определите число граней, вид тела и его двойственный многогранник. Сначала используем формулу Эйлера, поскольку неизвестно число граней. Затем сверим три найденные характеристики с таблицей и применим обмен V и F.
Подставим V = 20 и E = 30 в формулу V − E + F = 2: 20 − 30 + F = 2. Отсюда F = 12.
Тело имеет 20 вершин, 30 рёбер и 12 граней — это додекаэдр. Такое сопоставление надёжнее, чем определять многогранник только по одному числу.
У двойственного тела будет 12 вершин и 20 граней, а число рёбер останется 30. Эти характеристики соответствуют икосаэдру, двойственному додекаэдру.
Ответ: 12 граней; додекаэдр; его двойственное тело — икосаэдр.
Считать, что двойственное тело всегда совпадает с исходным, — неверно: самодвойственен только тетраэдр из пяти Платоновых тел. Ошибка возникает, если принять сохранение числа рёбер за полное совпадение тел. Проверка: сравните пары V и F; у куба и октаэдра они различаются, хотя рёбер поровну.
При переходе к двойственному телу нельзя оставлять без изменения числа вершин и граней: они меняются местами, а число рёбер сохраняется. Путаница обычно появляется, когда все три характеристики называют просто «элементами». Проверьте результат по правилу V′ = F и F′ = V, E′ = E.
Не любое сочетание p и q задаёт правильное выпуклое тело. Даже если многоугольник и число граней при вершине кажутся подходящими, их углы могут дать сумму 360° или больше. Для проверки вычислите q·(p − 2)·180°/p: результат должен быть строго меньше 360°.
Формула Эйлера не поможет, если перепутать обозначения: V — число вершин, E — рёбер, F — граней. Такая ошибка обычно приводит к неверному числу неизвестных элементов. Перед подстановкой подпишите каждое данное число и проверьте, что в равенстве V − E + F = 2 использованы именно эти значения.
Для изучения темы понадобятся определения правильного многоугольника и многогранника: без них нельзя понять, что именно делает тело правильным. Также нужна формула Эйлера V − E + F = 2, связывающая число вершин, рёбер и граней. Умение находить эти числа пригодится в задачах о многогранниках и их сечениях, где важно учитывать устройство поверхности. Идея двойственности помогает сопоставлять вершины, рёбра и грани разных тел.
Почему правильных выпуклых многогранников всего пять?
В каждой вершине сумма углов сходящихся граней должна быть меньше 360°, иначе поверхность не загнётся внутрь и не образует выпуклое тело. Это условие допускает только пять сочетаний числа сторон грани и числа граней при вершине.
Что обозначают числа в символе Шлефли?
В записи {p, q} число p показывает, сколько сторон у каждой грани, а q — сколько граней сходится в каждой вершине. Например, у куба символ {4, 3}: его грани — квадраты, а при каждой вершине сходятся три грани.
Как по многограннику определить его двойственный?
При построении двойственного тела каждой вершине исходного сопоставляют грань, а каждой грани — вершину. Поэтому число вершин и число граней меняются местами, а число рёбер остаётся прежним.
Почему у двойственных тел одинаковое число рёбер?
Каждому ребру исходного тела соответствует ребро двойственного: оно соединяет вершины, поставленные в соответствие двум соседним граням. Такое соответствие не создаёт и не убирает рёбра, поэтому их количество сохраняется.
Какой правильный многогранник двойственен самому себе?
Сам себе двойственен тетраэдр. При переходе к двойственному телу у него остаются те же числа вершин, рёбер и граней, а его форма соответствует исходной.
7.6*. Взаимосвязь между всеми правильными многогранниками
